１．機械工学へのNewton力学の応用T

1.1 現象の説明方法：様々な現象をどのように説明するか？

　例えば，図1−1左図に示すように，斜面を下る台車の運動をどのように説明すれば良いだろうか？あるいは，右図のようにローラーが斜面を転がりながら下る場合との違いをどのように説明すれば良いだろうか？機械システムにおいては，これに似た現象が数多く起こっており，機能を満足する性能を担保するためには，そこで起こっている現象の説明を行う事が必ず求められる．
　
　
　図1-1　斜面を下る2つの物体の運動についての説明 　

考察

図1-1の問題を説明するためには多くの前置きが必要となるが，
１．説明すべき前提条件は何か？
２．設けるべき仮定は何か？？
３．それを図示（イメージ化）するとどうなるか？
４．Free-Body Diagramはどう描けるか？
５．数式で表すとどうなるか？
６．実際に実験してみるのはどうか？
７．…
……
などなど，多くの疑問が沸き上がる．これらの問いにはどう答えますか？あるいは，どうしたら良いと思いますか？

【Quiz１】機械／物体／生体などを
　・機械工学的には，どのように表現するか？
　・機械力学（物理学）では，どのように表現するか？

機械を辞書で調べてみると次のように記載されている．
　きかい【機械・器械】（広辞苑）
　@しかけのある器具．からくり．
　A外力に抵抗し得る物体の結合からなり，一定の相対運動をなし，外部から与えられたエネルギーを有用な仕事に変形するもの．原動機・作業機など．
　【machine】(CAMBRIDGE(International dictionary))
　“a device with several moving parts which uses power to do a particular type of work”
　【machine】The HUTCHINSON(Dictionary of science)
　“device that allows a small force (the effect) to overcome a larger one (the load).
　There are three basic machines: the inclined plane (ramp), the lever, and the wheel and axle.
　All other machines are combinations of these three basic types.
　Simple machines derived from the inclined plane include the wedge, the gear, and the screw; the spanner is derived from the lever, the pulley from the wheel.”

機械工学的な観点からすると，”ものづくり”の局面において，
　性能／寸法／加工法／仕上げ法／材料など
に関する情報を提供する必要がある．”もの”が出来上がる以前の，
　仕様／設計／CAD
に関連した作業が必要であり，例えば，材料力学では，出来上がったものが，形を保つ，壊れないなどの強度に係わる情報を明らかにし，提示する必要があるし，機械の運転や媒体や作業環境などで必ず晒される熱力学や流体力学に関わる情報も明らかにする必要ある．
　また，機械は一般に動くので，運動する際の挙動や駆動方法などを説明する必要もある．機械は各部が時間的に変化することから，様々な部分の状態の時間的な変化を把握することが必要となる．すべてを測定するわけには行かないので，実験的だけでなく，解析的に，その位置，姿勢，形（変形を含む）だけでなく，それらに影響を与えるもの：力，モーメント，エネルギー供給等について，情報を得る必要がある．これらの情報を得るために，定義すべきものが機械の運動を規定できる座標系や物理量に対応する変数である．

1.2 位置を定義する：座標系の導入

　位置：直交座標系／デカルト座標(Descartes coordinate system, Cartesian coordinate)
　
　
　図1-2　直交座標系 　
注目している位置：$\overrightarrow{r}$$\ldots$ $xyz$座標系で決まる位置．ベクトル表現すると，
\begin{eqnarray*} \overrightarrow{r}&=&\left(\begin{array}{ccc}x&y&z\end{array}\right)=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\\ &=&x\overrightarrow{e}_x+y\overrightarrow{e}_y+z\overrightarrow{e}_z \end{eqnarray*} ここで，$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{k}$，及び，$\overrightarrow{e}_x$，$\overrightarrow{e}_y$，$\overrightarrow{e}_z$は，それぞれ$x$，$y$，$z$方向の単位ベクトルを表している．
単位：m（nm，$\mu$m，mm，km，Mm，$\ldots$）などであり，座標系の単位と同じである．

力：同じ座標系で表現できる． \begin{eqnarray*} \overrightarrow{f}&=&\left(\begin{array}{ccc}f_x&f_y&f_z\end{array}\right)=f_x\overrightarrow{i}+f_y\overrightarrow{j}+f_z\overrightarrow{k}\\ &=&f_x\overrightarrow{e}_x+f_y\overrightarrow{e}_y+F_z\overrightarrow{e}_z \end{eqnarray*} 単位：N（nN，$mu$N，mN，kN，MN，$\ldots$）

【Quiz２】座標系に対応付けて力の3要素について説明せよ．

$f_x$，$f_y$，$f_z$は，符号を持ち，ベクトルの要素である．作用点に関する情報はここでは与えられていない．

【運動を考えるに当たり，視点はどこにあるか？】
対象：質点$\ldots$その点．従って，着目点と作用点は同じ．
　　　剛体$\ldots$重心？それ以外？
　　　弾性体，その他$\ldots$一般に，注目点と作用点は必ずしも同じではない．

その他の座標系：
◎極座標系(polar coordinate)
極座標系における位置ベクトルと表現方法を図1-3に示す． 　
　
　図1-3　極座標系 　
極座標系では，原点からの距離$r$と$\overrightarrow{r}$やその射影と座標軸がなす角度$\theta$，$\varphi$を用いて，位置ベクトルを次のように表す． \begin{eqnarray*} \overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}\left(\begin{array}{ccc}r\text{, }&\theta\text{, }&\varphi\end{array}\right)=r\overrightarrow{e}_r \end{eqnarray*} ここで，$\overrightarrow{e}_r$，$\overrightarrow{e}_\theta$，$\overrightarrow{e}_\varphi$は，それぞれ座標点上で定義される単位ベクトルであり，角度に対応する単位ベクトルの方向は，角度変化する接線方向となる．

　　　【考えてみよう】
　　　　　直交座標系$\left(x,\ y,\ z\right)$と極座標系$\left(r,\ \theta,\ \varphi\right)$の関係式を求めてみよ．

◎円筒座標系(Circular cylindrical coordinate)
円筒座標系における位置ベクトルと表現方法を図1-4に示す． 　
　
　図1-4　円筒座標系 　
円筒座標系では，$\overrightarrow{r}$のxy平面への射影の原点からの距離$r$とその角度，及び，$z$座標を用いて，位置ベクトルを次のように表す． \begin{eqnarray*} \overrightarrow{r}=r\overrightarrow{e}_r+z\overrightarrow{e}_z \end{eqnarray*} ここでの$r$とその単位ベクトル$\overrightarrow{e}_r$は，極座標系における場合とは異なる．また，$\overrightarrow{e}_\theta$，$\overrightarrow{e}_z$は，$\theta$方向，z$方向の単位ベクトルで，それぞれ座標点上で定義される．$\theta$方向は$r$方向と直交しており，角度変化する接線方向である．

　　　【考えてみよう】
　　　　　直交座標系$\left(x,\ y,\ z\right)$と円筒座標系$\left(r,\ \theta,\ z\right)$の関係式を求めてみよ．

◎２次元極座標系
円筒座標系において，$z$方向を考えない場合の表現を用いて，次のように表される． \begin{eqnarray*} \overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}\left(\begin{array}{cc}r\text{, }&\theta\end{array}\right)=r\overrightarrow{e}_r \end{eqnarray*}

　　　【考えてみよう】
　　　　　２次元直交座標系$\left(x,\ y\right)$と極座標系$\left(r,\ \theta\right)$の関係式を求めてみよ．

1.3 運動：対象物の時間的変化（特性）の表現

　
　
　図1-5　位置の移動 　
　物体が移動する場合を考える．図1−5に示すように$\overrightarrow{r}_1$で示される位置１から$\overrightarrow{r}_2$で示される位置２への移動する（した）とする．瞬間的な移動は不可能であるので，各位置の時刻を決めることにする．即ち，$\overrightarrow{r}_1$，$\overrightarrow{r}_2$の位置にいるときの時刻を$t_1$，$t_2$とすると，任意点の位置ベクトル$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}\left(t\right)$を用いて，次のように表す事ができる． \begin{eqnarray*} \left.\begin{array}{l} \overrightarrow{r}_1=\overrightarrow{r}\left(t_1\right)\\ \overrightarrow{r}_2=\overrightarrow{r}\left(t_2\right) \end{array}\right\} \end{eqnarray*} ここで，$t_1$<$t_2$であり，位置$\overrightarrow{r}_1$から位置$\overrightarrow{r}_2$までの移動における軌跡を$\overrightarrow{S}=\overrightarrow{S}\left(t\right)$で表すことにする．
ここで，$t_2$は，$t_1$からさほど遠くない時刻，$\Delta t$秒後とすると次のようにTaylor展開を利用した関係を考えることができる． \begin{eqnarray*} \overrightarrow{r}_2=\overrightarrow{r}\left(t_2\right)=\overrightarrow{r}\left(t_1+\Delta t\right)=\overrightarrow{r}\left(t_1\right)+\Delta t\frac{\partial \overrightarrow{r}\left(t_1\right)}{\partial t}+\frac{\left(\Delta t\right)^2}{2!}\frac{\partial^2\overrightarrow{r}\left(t_1\right)}{\partial t^2}+\ldots \end{eqnarray*} この結果から，軌跡を調べる代わりに， \begin{eqnarray*} \begin{array}{lll} \frac{\partial \overrightarrow{r}\left(t\right)}{\partial t}\text{, }&\frac{\partial^2 \overrightarrow{r}\left(t\right)}{\partial t^2}\text{, }&\ldots \end{array} \end{eqnarray*} を調べても良いのでは，と思われる．少なくとも \begin{eqnarray*} \left. \begin{array}{l} \frac{\partial \overrightarrow{r}\left(t\right)}{\partial t} = \frac{d\overrightarrow{r}\left(t\right)}{dt}=\overrightarrow{v}\left(t\right) =\overrightarrow{v} \\ \frac{\partial^2 \overrightarrow{r}\left(t\right)}{\partial t^2}=\frac{d^2 \overrightarrow{r}\left(t\right)}{dt^2}=\overrightarrow{a}\left(t\right)=\overrightarrow{a} \end{array}\right\} \end{eqnarray*} などを調べるのは大事ではないかと考えられる．

1.4 位置$\overrightarrow{r}$の時間微分：対象物注目点の速度，加速度

　
　
　図1-6　軌道に沿って変化する位置の時間微分 　
　
　
　図1-7　位置座標の時間微分 　
位置ベクトルを時間の$t$の関数として，時刻$t$において$\overrightarrow{r}$であり，微小時間$\Delta t$秒後の$t+\Delta t$において，$\overrightarrow{r}+\Delta \overrightarrow{r}$とすると，$\Delta\overrightarrow{r}$は，$\Delta t$時間の間の変位であるから，時刻$t$における速度$\overrightarrow{v}$は \begin{eqnarray*} \overrightarrow{v} = \lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta\overrightarrow{r}}{dt}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\dot{\overrightarrow{r}} \end{eqnarray*} ここで，曲線軌道上にとった接線方向の単位ベクトルを$\overrightarrow{t}$として，曲線に沿った長さを$s$と取ると速度ベクトルは次式のように表現できる． \begin{eqnarray*} \overrightarrow{v} =\frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = \frac{d\overrightarrow{r}}{ds}\frac{ds}{dt} = \frac{ds}{dt}\overrightarrow{t} \end{eqnarray*}
◎直交座標系
位置ベクトルを時間の関数であることを意識して記述すると次のように表すことができる． \begin{eqnarray*} \overrightarrow{r}&=&\left(\begin{array}{ccc}x &y &z\end{array}\right) = x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\\ &=&x\left(t\right)\overrightarrow{i}+y\left(t\right)\overrightarrow{j}+z\left(t\right)\overrightarrow{k}=&\overrightarrow{r}\left(t\right) \end{eqnarray*} ここで，$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{k}$は，時間に対して不変であるので，$\frac{d}{dt}\left(\right)=0$となる．
従って，速度ベクトル，あるいは，速度成分は次のようになる． \begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}\left\{\overrightarrow{r}\left(t\right)\right\}&=&\frac{d\overrightarrow{r}\left(t\right)}{dt}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{dx}{dt} & \frac{dy}{dt} & \frac{dx}{dt}\end{array}\right)\\ &=& \frac{dx\left(t\right)}{dt}\overrightarrow{i} + \frac{dy\left(t\right)}{dt}\overrightarrow{j}+ \frac{dz\left(t\right)}{dt}\overrightarrow{k} = v_x\overrightarrow{i} + v_y\overrightarrow{j} + v_z\overrightarrow{k} \end{eqnarray*} ここで， \begin{eqnarray*} \left. \begin{array}{l} v_x=v_x\left(t\right)=\frac{dx\left(t\right)}{dt}\\ v_y=v_y\left(t\right)=\frac{dy\left(t\right)}{dt}\\ v_z=v_z\left(t\right)=\frac{dz\left(t\right)}{dt} \end{array}\right\} \end{eqnarray*} である．
　一般に，位置，速度，加速度などは，時間の関数となることは，自明（明らか）なので，$x\left(t\right)$，$y\left(t\right)$，$z\left(t\right)$とは表記せず，$x$，$y$，$z$のように，$\left(t\right)$を省略して表現する場合が多い．また，機械力学では， \begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}\left(\text{ }\right)=\dot{\left(\text{ }\right)} \end{eqnarray*} という表現（ドット：dot）が一般に使われる．即ち， \begin{eqnarray*} \left. \begin{array}{l} v_x=\frac{dx}{dt}=\dot{x}\\ v_y=\frac{dy}{dt}=\dot{y}\\ v_z=\frac{dz}{dt}=\dot{z} \end{array}\right\} \end{eqnarray*} のような表記をする．

◎極座標系
次に極座標系における位置ベクトルの微分について考える．
極座標系で表現した位置ベクトルは次のように表現される． \begin{eqnarray*} \overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}\left(t\right)=r\overrightarrow{e}_r =r\left(t\right)\overrightarrow{e}_r\left(t\right) \end{eqnarray*} この場合，原点から距離$r$が時間の関数であるだけでなく，その位置の$r$方向の単位ベクトル$\overrightarrow{e}_r$は，原点からその位置の方向と同じ向きとなるため，位置が変わると方向が変化するベクトルである．

【Quiz３】極座標系で表現した位置ベクトルの時間微分，即ち，速度ベクトルを示せ．

極座標系で表現した位置ベクトルを時間微分すると次のようになる． \begin{eqnarray*} \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = \frac{dr\left(t\right)}{dt}\overrightarrow{e}_r\left(t\right) + r\left(t\right)\frac{d\overrightarrow{e}_r\left(t\right)}{dt} \end{eqnarray*} 故に，単位ベクトルの時間微分を求める必要がある．ここで，極座標系における単位ベクトルは図1-8のようになる． 　
　
　図1-8　極座標系における単位ベクトル 　
極座標系における単位ベクトルの時間微分の例として，２次元の場合をまず考えてみる． 　
　
　図1-9　２次元極座標系 　
ベクトルの合成，あるいは，面内の回転変換の関係から，極座標系と直交座標系の各単位ベクトルの間には次の関係が成り立つ． \begin{eqnarray*} \left.\begin{array}{l} \overrightarrow{e}_r=\overrightarrow{i}\cos\theta + \overrightarrow{j}\sin\theta \\ \overrightarrow{e}_\theta=-\overrightarrow{i}\sin\theta + \overrightarrow{j}\cos\theta \end{array}\right\} \end{eqnarray*} 時間的に変化するものを明示すると \begin{eqnarray*} \left.\begin{array}{l} \overrightarrow{e}_r\left(t\right)=\overrightarrow{i}\cos\theta\left(t\right) + \overrightarrow{j}\sin\theta\left(t\right) \\ \overrightarrow{e}_\theta\left(t\right)=-\overrightarrow{i}\sin\theta\left(t\right) + \overrightarrow{j}\cos\theta\left(t\right) \end{array}\right\} \end{eqnarray*} 単位ベクトルはすべて直交しているので，同一平面内の単位ベクトルについて同様の変換を行うことにより，直交座標系の単位ベクトルとの関係を定めることができる．
まず，$xy$平面において，図1-9に示す$\overrightarrow{e}_r$と$\overrightarrow{e}_{\varphi\bot}$に関して，次の関係が成立する． \begin{eqnarray*} \left.\begin{array}{l} \overrightarrow{e}_{\varphi\bot}=\overrightarrow{i}\cos\varphi + \overrightarrow{j}\sin\varphi \\ \overrightarrow{e}_\varphi=-\overrightarrow{i}\sin\varphi + \overrightarrow{j}\cos\varphi \end{array}\right\} \end{eqnarray*} 同様に，$\overrightarrow{e}_r$と$\overrightarrow{e}_\theta$が直交する平面における関係を考えると，次の関係式を得る． \begin{eqnarray*} \left.\begin{array}{l} \overrightarrow{e}_r=\overrightarrow{k}\cos\theta + \overrightarrow{e}_{\varphi\bot}\sin\theta \\ \overrightarrow{e}_\theta=-\overrightarrow{k}\sin\theta + \overrightarrow{e}_{\varphi\bot}\cos\theta \end{array}\right\} \end{eqnarray*} よって，極座標系における三方向の単位ベクトルと直交座標系単位ベクトルとの関係は，次式となる． \begin{eqnarray*} \left.\begin{array}{l} \overrightarrow{e}_r=\sin\theta\left(\overrightarrow{i}\cos\varphi + \overrightarrow{j}\sin\varphi\right)+\overrightarrow{k}\cos\theta \\ \overrightarrow{e}_\theta=\cos\theta\left(\overrightarrow{i}\cos\varphi + \overrightarrow{j}\sin\varphi\right)-\overrightarrow{k}\sin\theta\\ \overrightarrow{e}_\varphi=-\overrightarrow{i}\sin\varphi + \overrightarrow{j}\cos\varphi \end{array}\right\} \end{eqnarray*} 時間$t$の関数として（陽に）表現すると \begin{eqnarray*} \left.\begin{array}{l} \overrightarrow{e}_r\left(t\right) = \sin\theta\left(t\right)\left\{\overrightarrow{i}\cos\varphi\left(t\right) + \overrightarrow{j}\sin\varphi\left(t\right)\right\} + \overrightarrow{k}\cos\theta\left(t\right) \\ \overrightarrow{e}_\theta\left(t\right)=\cos\theta\left(t\right)\left\{\overrightarrow{i}\cos\varphi\left(t\right) + \overrightarrow{j}\sin\varphi\left(t\right)\right\}-\overrightarrow{k}\sin\theta\left(t\right)\\ \overrightarrow{e}_\varphi\left(t\right)=-\overrightarrow{i}\sin\varphi\left(t\right) + \overrightarrow{j}\cos\varphi\left(t\right) \end{array}\right\} \end{eqnarray*} よって，$\overrightarrow{e}_r\left(t\right)$を時間微分すると \begin{eqnarray*} \frac{d\overrightarrow{e}_r\left(t\right)}{dt} &=& \frac{d\theta\left(t\right)}{dt}\cos\theta\left(t\right)\left\{\overrightarrow{i}\cos\varphi\left(t\right)+\overrightarrow{j}\sin\varphi\left(t\right)\right\} + \sin\theta\left(t\right)\frac{d\varphi\left(t\right)}{dt}\left\{-\overrightarrow{i}\sin\varphi\left(t\right)+\overrightarrow{j}\cos\varphi\left(t\right)\right\} - \frac{d\theta\left(t\right)}{dt}\overrightarrow{k}\sin\theta\left(t\right)\\ &=&\frac{d\theta\left(t\right)}{dt}\left[\cos\theta\left(t\right)\left\{\overrightarrow{i}\cos\varphi\left(t\right)+\overrightarrow{j}\sin\varphi\left(t\right)\right\}-\overrightarrow{k}\sin\theta\left(t\right) \right] + \frac{d\varphi\left(t\right)}{dt}\sin\theta\left(t\right)\left\{-\overrightarrow{i}\sin\varphi\left(t\right)+\overrightarrow{j}\cos\varphi\left(t\right)\right\}\\ &=&\frac{d\theta\left(t\right)}{dt}\overrightarrow{e}_\theta\left(t\right) + \frac{d\varphi\left(t\right)}{dt}\sin\theta\left(t\right)\overrightarrow{e}_\varphi\left(t\right) = \dot{\theta}\overrightarrow{e}_\theta + \dot{\varphi}\sin\theta\overrightarrow{e}_\varphi \end{eqnarray*} 上の関係を用いて，極座標系で表現した速度ベクトルは次のようになる． \begin{eqnarray*} \overrightarrow{v}\left(t\right)=\frac{d\overrightarrow{r}\left(t\right)}{dt}&=&\frac{dr\left(t\right)}{dt}\overrightarrow{e}_r\left(t\right)+r\left(t\right)\left\{\frac{d\theta\left(t\right)}{dt}\overrightarrow{e}_\theta\left(t\right) + \frac{d\varphi\left(t\right)}{dt}\sin\theta\left(t\right)\overrightarrow{e}_\varphi\left(t\right)\right\}\\ &=&\frac{dr\left(t\right)}{dt}\overrightarrow{e}_r\left(t\right)+r\left(t\right)\frac{d\theta\left(t\right)}{dt}\overrightarrow{e}_\theta\left(t\right) + r\left(t\right)\frac{d\varphi\left(t\right)}{dt}\sin\theta\left(t\right)\overrightarrow{e}_\varphi\left(t\right)\\ &=& \dot{r}\overrightarrow{e}_r + r\dot{\theta}\overrightarrow{e}_\theta + r\dot{\varphi}\sin\theta\overrightarrow{e}_\varphi \end{eqnarray*} よって，$\overrightarrow{e}_r$，$\overrightarrow{e}_\theta$，$\overrightarrow{e}_\varphi$方向の速度成分は，次式となる． \begin{eqnarray*} \left.\begin{array}{l} v_r=\dot{r}\quad\quad\left(=\frac{dr\left(t\right)}{dt}=v_r\left(t\right)\right) \\ v_\theta=r\dot{\theta}\quad\left(=r\left(t\right)\frac{d\theta\left(t\right)}{dt}=v_\theta\left(t\right)\right) \\ v_\varphi=r\dot{\varphi}\sin\theta\quad \left(=r\left(t\right)\frac{d\varphi\left(t\right)}{dt}\sin\theta\left(t\right)=v_\varphi\left(t\right)\right) \end{array}\right\} \end{eqnarray*}

1.5 例題

図1-10は，長さ$l=l\left(t\right)$が自由に制御できるクレーンが鉛直下向きに定めた$x$座標軸から角度$\theta=\theta\left(t\right)$回転した位置にある場合を表している．先端にある質量中心の位置，速度，加速度を$l$，$\theta$，及び，これらの微分を用いて表現せよ．
　
　
　図1-10　クレーンの運動 　
解）　２次元極座標系$\left(r\text{, }\theta\right)$と対応する単位ベクトルを$\overrightarrow{e}_r$，$\overrightarrow{e}_\theta$は，時間の関数となるのは自明であるので，$t$の関数であることを省略して表記することにすると，位置ベクトルは \begin{eqnarray*} \overrightarrow{r}=l\overrightarrow{e}_r \end{eqnarray*} であり，時間微分して，速度を計算すると \begin{eqnarray*} \overrightarrow{v}= \dot{\overrightarrow{r}}=\dot{l}\overrightarrow{e}_r+l\dot{\overrightarrow{e}}_r \end{eqnarray*} ここで， \begin{eqnarray*} \left.\begin{array}{l} \overrightarrow{e}_r=\overrightarrow{i}\cos\theta + \overrightarrow{j}\sin\theta \\ \overrightarrow{e}_\theta=-\overrightarrow{i}\sin\theta + \overrightarrow{j}\cos\theta \end{array}\right\} \end{eqnarray*} より， \begin{eqnarray*} \dot{\overrightarrow{e}}_r =\dot{\theta}\left(-\overrightarrow{i}\sin\theta + \overrightarrow{j}\cos\theta\right)=\dot{\theta}\overrightarrow{e}_\theta \end{eqnarray*} よって，極座標系で速度ベクトルを表すと次のようになる． \begin{eqnarray*} \overrightarrow{v}= \dot{l}\overrightarrow{e}_r+l\dot{\theta}\overrightarrow{e}_\theta \end{eqnarray*} 更に，もう一回時間微分すると \begin{eqnarray*} \overrightarrow{a}=\dot{\overrightarrow{v}}=\ddot{l}\overrightarrow{e}_r+\dot{l}\dot{\overrightarrow{e}}_r + \dot{l}\dot{\theta}\overrightarrow{e}_\theta+l\ddot{\theta}\overrightarrow{e}_\theta + l\dot{\theta}\dot{\overrightarrow{e}}_\theta \end{eqnarray*} ここで， \begin{eqnarray*} \dot{\overrightarrow{e}}_\theta =\dot{\theta}\left(-\overrightarrow{i}\cos\theta - \overrightarrow{j}\sin\theta\right)=-\dot{\theta}\overrightarrow{e}_r \end{eqnarray*} より，極座標系の加速度ベクトルは次のようになる． \begin{eqnarray*} \overrightarrow{a}=\left(\ddot{l}-l\dot{\theta}^2\right)\overrightarrow{e}_r + \left(l\ddot{\theta}+2\dot{l}\dot{\theta}\right)\overrightarrow{e}_\theta \end{eqnarray*}

考察

$\left(x,\ y\right)$座標系と$\left(r,\ \theta\right)$座標系との間の関係は \begin{eqnarray*} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{eqnarray*} となるが，これを時間微分したらどうなるか考えてみよう．

1.6 演習

(1) 図E01-01に示す一定のピッチ$p$のらせん曲線（半径$r$一定）に沿って鉛直下向き（$-z$方向）に一定加速度$g$で落ちる質点の速度，加速度を求めなさい．
　
　図E01-01　らせん曲線に沿った自由落下
(2) 直交座標系，及び，極座標系で表した速度ベクトルを更に時間微分して，それぞれの加速度ベクトルを求めよ．また，二つの座標系で表した成分について比較・考察をせよ．


図E01-02　極座標系