７．粘性減衰力がある場合の１自由度系の自由振動
7.1 振動の減衰
ドアを閉めたときに，”バタン”という音がするのを聞くことがある．この音は，開閉時にドアがどこかとぶつかり，ドア全体に振動を起こり，その振動により発生する空気の振動が関連している．壁を叩いても叩く音が聞こえ，やがて消えるが，これも壁が振動し，その振動によってその周辺の空気が振動して音として伝わってくることにより起こる現象である．例えば，ある形状の板材をたたくと，図7-1に示すようなデータを取得することができる．この図は，横軸が時間，縦軸はその板材に発生している加速度の値で，図に示すように0.1秒当たりで打撃により振動が発生し加速度が変動し，徐々に大きさが小さくなっていることから振動自体も時間と共に小さくなっていることが分かる．一般の機械，機械構造物，機械システムも打撃するとこれと同様な加速度波形となる．これまでのモデルではこのような”振動が次第に小さくなる現象”は現れておらず，一旦振動を始めると”振動は持続するモデル”となっていた．現実に起こっている現象を調べるためには，減衰特性も表現できるモデルを使用する必要がある．
図7-1 打撃後の振動加速度の時刻歴応答
機械システムにはこういった減衰特性を組み込み，振動を小さくする細工が至る所に施されている．図7-2は，自動車の足回り，サスペンション部を示しており，ばねでモデル化できるコイルバネに加えて，振動を吸収するためのショックアブソーバーという機構が採用されており，乗り心地，操安性向上に大きく貢献している．
図7-2 自動車サスペンション部（足回り）
サスペンション部の詳細を図7-3に示す．コイルバネで車体を支えると同時にダンパーが作用する構造となっており，車体の動きに対してばね力とこのダンパーによって発生する力が同時に作用することになる．ここで，右上の図は変位量に対して発生する力を示しており，中立位置（変位が零辺り）はHookeの法則が成り立つように変位に対して力が線形的に変化している．ただし，大きな変位量の場合図7-3に示すバンプラバーにショックアブソーバーのシリンダー部がぶつかるためばね定数が急に増加したような力が発生することになる．機械力学Tではこういった詳細な構造に起因するパラメータ設定は行わないが，実際の設計・開発に際しては考慮されるべき項目である．
図7-3 自動車サスペンション部詳細
7.2 減衰(damping, attenuation)現象の表現
運動や変形により，そこに存在するエネルギーが熱エネルギー変換され，エネルギーが散逸（消失）していく現象を減衰という．一般的に減衰力は速度の関数として考える場合が多く次のような典型的なモデルが存在する．
(a) 流体摩擦：速度$v$の関数で，速度が低い場合は，粘性減衰$\propto v$，速度が高い場合は，抗力$\propto v^2$．
(b) 固体摩擦：摩擦２物体間のスリップ率$s$の関数で，典型的なものとしては，静止摩擦係数と動摩擦係数をそれぞれ一定値としてモデル化したもの．
(c) 固体内部摩擦：歪速度$\dot{\varepsilon}=\frac{d\varepsilon}{dt}$（$\varepsilon$歪）の関数．変形速度に依存．
(d) 構造減衰：(b)＋連結部（ボルト・リベット，接触面）+(c)で，ヒステリシス減衰（Hysterisis damping)と呼ばれる場合もある．
振動問題では，実際の現象をある程度モデル化でき，かつ，取扱いが容易であることから，”粘性減衰力”による減衰特性を考える場合が多い．
粘性減衰力$f_D$(viscous damping force)
粘性減衰を仮定すると，その減衰力は，ダッシュポット（減衰器）の両端間の相対速度（引き伸ばす，あるいは，縮めれる速度）に比例する力が発生すると仮定する．この時の比例定数を粘性減衰係数(viscous damping coefficient)と呼ぶ．Hookeの法則における力$f_k$と変位（相対）$\Delta$の関係と関連付けて，両端間の相対速度$\dot{\Delta}$と発生する減衰力$f_D$の関係を図7-4に示す．Hookeの法則では，この図の傾きがばね定数$k$となるのに対し，粘性減衰の仮定では，粘性減衰係数$c$が図の傾きとなる．質量$m$が一定の場合のニュートンの第2法則（運動の法則）は，横軸を加速度に取り，その時の慣性力を縦軸に取ると，傾きを質量$m$とする同様の直線関係で表現できることが分かる．
図7-4 Hookeの法則におけるばね力，粘性減衰系を仮定した場合の減衰力
【QUIZ 1】粘性減衰係数の単位を示せ．？
粘性減衰を仮定した場合の減衰力は \begin{eqnarray*} f_D = c\dot{\Delta}=\dot{x}_2 - \dot{x}_1 \end{eqnarray*} よって，単位の関係を示すと \begin{eqnarray*} [\text{N}] = [c\text{の単位}]\cdot[\text{m/s}] \end{eqnarray*} となるので， \begin{eqnarray*} [c\text{の単位}]=\frac{[\text{N}]}{[\text{m/s}]} = \frac{[\text{Ns}]}{[\text{m}]} \end{eqnarray*} などのようになる．物理的な意味づけをすると，単位速度辺りに発生する力，という単位，と言えるので，３番に示した記載よりも，２番目の記載の方が物理的意味付けがわかる表現となる．[N}は合成単位であるので，これらは更に変形することができ， \begin{eqnarray*} [c\text{の単位}]=\frac{[\text{Ns}]}{[\text{m}]}=\frac{[\text{kg}\cdot\text{m/s}^2\cdot\text{s}]}{[\text{m}]}=\frac{[\text{kg}]}{[\text{s}]} \end{eqnarray*} となり，質量の時間変化，”質量速度”のような単位となり，物理的なイメージを持つことが難しくなる．そのため，粘性減衰係数の単位は，前者のような形で表現する場合が殆んどである．
7.3 減衰自由振動（1自由度粘性減衰系）
以上より，ある機械システムを，全体の質量が$m$で，それをばね定数$k$のばねと粘性減衰係数$c$のダシュポットの並列系で支持されている系と考え，その運動について考察する．
図7-5に示す静的な釣合位置からの変位を$x$とする．ばねの自然長からのこの静的な釣合位置までのばねの伸びを$\delta_{st}$とすると，$mg=k\delta_{st}$の関係から，重力を取り除いた形でFree-body Diagramを描くと図7-6のようになる．
図7-5 １自由度粘性減衰系
図に示すばね力$f_k$は，Hookeの法則から \begin{eqnarray*} f_k = k\left(x-0\right) = kx \end{eqnarray*} 減衰力$f_D$は， \begin{eqnarray*} f_D = c\left(\dot{x}-0\right) = c\dot{x} \end{eqnarray*} となるので，Newtonの第２法則から次式を得る． \begin{eqnarray*} m\ddot{x} = - f_k - f_D = -kx -c\dot{x} \end{eqnarray*} 即ち，1自由度粘性減衰系の運動方程式は次式となる． \begin{eqnarray*} m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0 \end{eqnarray*}
図7-6 １自由度粘性減衰系に対するFree-body Diagram
この定数係数の線形常微分方程式に対する一般解を求め，この系の応答を計算する．両辺を$m$で割ると \begin{eqnarray*} \ddot{x} + \frac{c}{m}\dot{x} + \frac{k}{m}x = 0 \end{eqnarray*} 特性根を$\lambda$とし，$X$を未締結として，$x=Xe^{\lambda t}$とおき，上式に代入すると次の特性方程式を得る． \begin{eqnarray*} \lambda^2 + \frac{c}{m}\lambda + \frac{k}{m} = 0 \end{eqnarray*} 即ち，２次方程式であるので２つの解が定まり，それを$\lambda_1$，$\lambda_2$として，式変形してみる． \begin{eqnarray*} \left.\begin{array}{l} \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{array} \right\} &=&\frac{1}{2}\left(-\frac{k}{m} \pm \sqrt{\left(\frac{c}{m}\right)^2-4\frac{k}{m}} \right) = -\frac{c}{2m}pm\sqrt{\left(\frac{c}{m}\right)^2-\frac{k}{m}} \\ &=& \sqrt{\frac{k}{m}}\left(-\frac{c}{2\sqrt{mk}}\pm\sqrt{\left(\frac{c}{2\sqrt{mk}}\right)^2-1}\right) = p\left(-\zeta\pm\sqrt{\zeta^2-1}\right) \end{eqnarray*} 即ち，不減衰系の固有角振動数$p=\sqrt{\frac{k}{m}}$と$\zeta=\frac{c}{2\sqrt{mk}}$で表わされる無次元数を用いて解を表すことができることがわかる．後者は，無次元であり，粘性減衰係数が分子にあることから，”減衰比”と呼ばれ，この系の振動特性のうちの減衰特性に関係する”パラメータ”である．また，分母の$c_c=2\sqrt{mk}$は，単位は粘性減衰係数同じであり，減衰特性を変化させる境界のような特性を持つことから”臨界減衰係数”と呼ばれる．これらの値を用いて運動方程式を表わすと \begin{eqnarray*} \ddot{x} + 2\zeta p\dot{x} + p^2x = 0 \end{eqnarray*} また，特性方程式は \begin{eqnarray*} \lambda^2 + 2\zeta p\lambda + p^2 = 0 \end{eqnarray*} のように表わすことできる．
従って，未定係数を$A$，$B$として，一般解を表わすと次式となる． \begin{eqnarray*} x &=& Ae^{\lambda_1t} + Be^{\lambda_2t} = Ae^{p\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^2-1}\right)t} + Be^{p\left(-\zeta-\sqrt{\zeta^2-1}\right)t} \\ &=& e^{-\zeta pt}\left(Ae^{p\sqrt{\zeta^2-1}t} + Be^{-p\sqrt{\zeta^2-1}t}\right) \end{eqnarray*} ここで，$\zeta=c/2\sqrt{mk}$は，$m$，$c$，$k$の値の組合せにより，様々な値を取り得るので，$\sqrt{\zeta^2-1}$が実数となるのか，虚数となるのかによって，解の性質が異なると考えられる．そこで条件分けをして解の性質を調べることにする．
1) $\zeta>1$のとき
形は上記のままの表現となり， \begin{eqnarray*} x = Ae^{p\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^2-1}\right)t} + Be^{p\left(-\zeta-\sqrt{\zeta^2-1}\right)t} \end{eqnarray*} であり，$\zeta>\sqrt{\zeta^2-1}$なので，第１項，第２項共，指数部は負となり，時間に対して単調に減少し，零に収束することが分かる．即ち，この条件の時は，物体は振動せず”無周期”運動となる．これは系のパラメータの中の減衰特性が大きいことから起こる結果なので，”過減衰”と呼ばれる．この場合の系の応答を初期条件に対して定めることにする．$t=0$において，$x=x_0$，$\dot{x}=v_0$とすると，速度が \begin{eqnarray*} \dot{x} = p\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^2-1}\right)Ae^{p\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^2-1}\right)t} + p\left(-\zeta-\sqrt{\zeta^2-1}\right)Be^{p\left(-\zeta-\sqrt{\zeta^2-1}\right)t} \end{eqnarray*} となることから，次の関係が定まる． \begin{eqnarray*} \left.\begin{array}{l} x_0 = A + B \\ v_0 = p\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^2-1}\right)A + p\left(-\zeta-\sqrt{\zeta^2-1}\right)B \end{array}\right\} \end{eqnarray*} 未定係数A，Bに関する連立一次方程式として解くと次式を得る． \begin{eqnarray*} \left.\begin{array}{l} A = \frac{1}{2}\left\{x_0 + \frac{1}{\zeta^2-1}\left(\frac{v_0}{p}+x_0\zeta\right) \right\}\\ B = \frac{1}{2}\left\{x_0 - \frac{1}{\zeta^2-1}\left(\frac{v_0}{p}+x_0\zeta\right) \right\} \end{array}\right\} \end{eqnarray*} 指数関数の形から，次のように変形することができる． \begin{eqnarray*} x &=& e^{-\zeta pt}\left\{\left(A+B\right)\frac{e^{p\sqrt{\zeta^2-1}t} + e^{-p\sqrt{\zeta^2-1}t}}{2} +\left(A-B\right)\frac{e^{p\sqrt{\zeta^2-1}t} - e^{-p\sqrt{\zeta^2-1}t}}{2} \right\}\\ &=& e^{-\zeta pt}\left\{\left(A+B\right)\cosh p\sqrt{\zeta^2-1}t +\left(A-B\right)\sinh p\sqrt{\zeta^2-1}t\right\}\\ &=& e^{-\zeta pt}\left\{x_0\cosh p\sqrt{\zeta^2-1}t +\frac{v_0/p+x_0\zeta}{\sqrt{\zeta^2-1}}\sinh p\sqrt{\zeta^2-1}t\right\} \end{eqnarray*} $v_0=0$とした場合のこの系の応答を図示すると図7-7のようになる．
図7-7 過減衰系の時刻歴応答
2) $\zeta=1$のとき
$\lambda_1=\lambda_2=-p$，即ち，重根となるので一般解は次のようになる． \begin{eqnarray*} x=\left(A+Bt\right)e^{-pt} \end{eqnarray*} 時間微分して速度応答を求めると， \begin{eqnarray*} \dot{x}=e^{-pt}\left\{B-p\left(A+Bt\right)\right\} \end{eqnarray*} となるので，初期条件を$t=0$において，$x=x_0$，$\dot{x}=v_0$とすると， \begin{eqnarray*} && \left.\begin{array}{l} x_0=A\\ v_0=B-pA \end{array}\right\} \\ && \therefore \left. \begin{array}{l} A=x_ 0\\ B=v_0 + px_0 \end{array}\right\} \end{eqnarray*} よって，この場合の時刻歴応答は次のようになる． \begin{eqnarray*} x=\left\{x_0+\left(v_0 + px_0\right)t\right\}e^{-pt} \end{eqnarray*}
3) $\zeta<1$のとき
$\zeta^2-1<0$となるので，特性根を次のように変形する． \begin{eqnarray*} \left.\begin{array}{l} \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{array} \right\} = -p\left(\zeta\pm i\sqrt{1-\zeta^2}\right) \end{eqnarray*} 従って，一般解は次のようになる． \begin{eqnarray*} x &=& e^{-\zeta pt}\left(Ae^{ip\sqrt{1-\zeta^2}t} + Be^{-ip\sqrt{1-\zeta^2}t}\right)\\ &=& e^{-\zeta pt}\left\{\left(A+B\right)\cos p\sqrt{1-\zeta^2}t + i\left(A-B\right)\sin p\sqrt{1-\zeta^2}t\right\} \\ &=& e^{-\zeta pt}\left\{C\cos p\sqrt{1-\zeta^2}t + D\sin p\sqrt{1-\zeta^2}t\right\} \end{eqnarray*} C，Dは未定係数であり，初期条件により定まる．時間微分すると \begin{eqnarray*} \dot{x} = e^{-\zeta pt}\left\{-\zeta p\left(C\cos p\sqrt{1-\zeta^2}t + D\sin p\sqrt{1-\zeta^2}t\right) + p\sqrt{1-\zeta^2}\left(-C\sin p\sqrt{1-\zeta^2}t + D\cos p\sqrt{1-\zeta^2}t\right) \right\} \end{eqnarray*} となるので，$t=0$において，$x=x_0$，$\dot{x}=v_0$とすると， \begin{eqnarray*} && \left.\begin{array}{l} x_0 = C \\ v_0 =-\zeta pC + p\sqrt{1-\zeta^2}D \end{array}\right\} \\ && \therefore \left. \begin{array}{l} C = x_0 \\ D = \frac{v_0+\zeta px_0}{p\sqrt{1-\zeta^2}} \end{array}\right\} \end{eqnarray*} 従って，この場合の系の応答は次式となる． \begin{eqnarray*} x &=& e^{-\zeta pt}\left(x_0\cos p\sqrt{1-\zeta^2}t + \frac{v_0+\zeta px_0}{p\sqrt{1-\zeta^2}}\sin p\sqrt{1-\zeta^2}t\right)\\ &=& \sqrt{x_0^2+\frac{\left(v_0/p+\zeta x_0\right)^2}{1-\zeta^2}}\cos\left(p\sqrt{1-\zeta^2}t-\varphi\right) \\ &\quad& \varphi=\tan^{-1}\frac{v_0/p+\zeta x_0}{x_0\sqrt{1-\zeta^2}} \end{eqnarray*} この場合，$p$に対して，$p\sqrt{1-\zeta^2}$の角振動数が現れ，両者を区別するために，前者を”不減衰固有角振動数”，後者を”減衰固有角振動数”と呼ぶ場合がある．
図7-8 減衰自由振動における振幅変化
減衰固有角振動数$p_d=p\sqrt{1-\zeta^2}$で定まる周期毎に変化する振幅を図示すると図7-8に示すように定義することができる．即ち，$n$番目の頂点における振幅$a_n$が時刻$t_n$で現れるとすると \begin{eqnarray*} a_n = X_0e^{-\zeta pt_n} \end{eqnarray*} であり，$(n+1)$番目も同様に \begin{eqnarray*} a_{n+1} = X_0e^{-\zeta pt_{n+1}} \end{eqnarray*} と表現できるので，この比を取ると次式のようになる． \begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{e^{-\zeta pt_n}}{e^{-\zeta pt_{n+1}}} = e^{\zeta p(t_{n+1}-t_n)} \end{eqnarray*} ここで，$t_{n+1}-t_n$は，この系の固有周期$T_d$と考えて良いので，次のような関係となる． \begin{eqnarray*} t_{n+1}-t_n) = T_d = \frac{2\pi}{p_d}=\frac{2\pi}{p\sqrt{1-\zeta^2}} \end{eqnarray*} この関係を使うと \begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}} = e^{\frac{2\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}} \end{eqnarray*} 自然対数を取ると次のような対数減衰率$\delta$を定義することができる． \begin{eqnarray*} \delta= \ln\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{2\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}} \end{eqnarray*} 振幅同志の関係としては， \begin{eqnarray*} && \frac{a_n}{a_{n+1}} = e^{\delta} \\ && \therefore a_{n+1} = a_ne^{-\delta} \end{eqnarray*} また，$\zeta \ll 1$のとき， \begin{eqnarray*} \delta= \frac{2\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}} \fallingdotseq 2\pi\zeta \end{eqnarray*} とすることもある．更に，$\delta$が小さいとき， \begin{eqnarray*} && \frac{a_{n+1}}{a_n} = e^{-\delta} = 1 - \delta + \frac{1}{2!}(-\delta)^2 + \frac{1}{3!}(-\delta)^3+\ldots \fallingdotseq 1 - \delta \\ && \therefore a_{n+1} = \left(1-\delta\right) a_n \end{eqnarray*} よって，$\Delta a_n = a_n-a_{n+1}$とおくと \begin{eqnarray*} && \Delta a_n = \delta a_n \\ && \therefore \frac{\Delta a_n}{a_n} = \delta \fallingdotseq 2\pi\zeta \end{eqnarray*} 即ち， \begin{eqnarray*} \zeta =\frac{1}{2\pi}\frac{\Delta a_n}{a_n} \end{eqnarray*} から，$\zeta$を定めることがことがある．
これまで実験的に求められた対数減衰率と減衰比の例を表7-1に示す．このように一般の機械構造物の減衰は小さく，殆んどの場合が振動系となる．
表7-1 対数減衰率と減衰比の例
構造物
$\delta$
$\zeta$
タービンブレード
$0.03$
$4.8\times10^{-3}$
コイルバネ
$0.03\sim0.07$
$4.8\times10^{-3}\sim1.1\times10^{-2}$
吊橋
$0.1$
$1.6\times10^{-2}$
橋梁
$0.3$
$4.8\times10^{-2}$
7.4 演習
(1) １自由度系$m$，$k$なる振動系が２個ある．これらをA系，B系と呼ぶことにする．A系は$m=184$t，減衰のないときの固有振動数は$f_n=4.7$Hz，B系は，$m'=1184$t，減衰のないときの固有振動数$f_n=2.3$Hzであるという．A，B系に同じダンパーを付けたとき，A系で減衰比が18%とすると，B系では何%となるか．
(2) 図7-5に示す系において，質量$m=5$kg，ばね定数$k=5\times10^3$N/m，粘性減衰係数$c=24$Ns/mとして本系の減衰比，対数減衰率，隣り合う振幅の比を求めよ．
