10．粘性減衰力がある場合の１自由度系の強制振動

　振動を誘発する原因，あるいは，入力として，”周期的な励振”を取り上げ，”強制振動”について，質量とばねで構成される１自由度振動系を用いてその特徴について調べた，しかしながら，実際の系には”減衰特性”が存在するので，その特性も加えた場合の方が，より現実に近い現象となることが想定される．そこで，減衰を含む図10-1に示すモデルについて更に検討を進める．

　
　
　図10-1　１自由度粘性減衰系の強制振動
　


10.1　運動方程式とその解

　図10-1に示すモデルに対するFree-body Diagramは，図10-2のようになる．図中に示す力は \begin{eqnarray*} && f(t)=P\cos\omega t \\ && f_k=kx\\ && f_c=c\dot{x} \end{eqnarray*} となるので，この系の運動方程式は次のようになる． \begin{eqnarray*} && m\ddot{x} = f(t) - f_k - f_c = P\cos\omega t t - kx -c\dot{x} \\ && \therefore m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = P\cos\omega t \end{eqnarray*} よって，両辺を$m$で割り，$p^2=\frac{k}{m}$，$\zeta=\frac{c}{2\sqrt{mk}}$，$\delta_{st}=\frac{P}{k}$と置くと，次式のように表すことができる． \begin{eqnarray*} \ddot{x} + 2\zeta p\dot{x} + p^2x = \delta_{st}p^2\cos\omega t \end{eqnarray*}

　
　
　図10-2　１自由度粘性減衰系の強制振動に対するFree-body Diagram
　


　この方程式は，非同次の常微分方程式であるので，右辺を零と置いた同次方程式の解$x_h$と右辺を成り立たせる特解$x_s$の和が一般解となる．ここで，右辺の関数形から，特解$x_s$は，未定係数を$A$，$B$として次のように置くことができる． \begin{eqnarray*} x_s = A\cos\omega t + B\sin\omega t \end{eqnarray*} よって，特解$x_s$で表した運動方程式 \begin{eqnarray*} \ddot{x}_s + 2\zeta p\dot{x}_s + p^2x_s = \delta_{st}p^2\cos\omega t \end{eqnarray*} に代入すると， \begin{eqnarray*} \left(p^2-\omega^2\right)\left(A\cos\omega t + B\sin\omega t\right)　+ 2\zeta p\omega\left(-A\sin\omega t + B\cos\omega t \right) = \delta_{st}p^2\cos\omega t \end{eqnarray*} 任意の$t$に対して成立するには， \begin{eqnarray*} \left.\begin{array}{l} \left(p^2-\omega^2\right)A + 2\zeta p\omega B = \delta_{st}p^2\\ -2\zeta p\omega A + \left(p^2-\omega^2\right)B = 0 \end{array}\right\} \end{eqnarray*} 即ち，$A$，$B$を未知数とする２元一次の連立方程式となる．行列形式で表わすと \begin{eqnarray*} \left[\begin{array}{cc} p^2-\omega^2 & 2\zeta p\omega \\ -2\zeta p\omega & p^2-\omega^2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} A \\ B \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} \delta_{st}p^2\\ 0 \end{array}\right] \end{eqnarray*} 係数行列の逆行列を左側から掛けると \begin{eqnarray*} \left[\begin{array}{c} A \\ B \end{array}\right] &=& \frac{1}{\left(p^2-\omega^2\right)^2+\left(2\zeta p\omega\right)^2} \left[\begin{array}{cc} p^2-\omega^2 & -2\zeta p\omega \\ 2\zeta p\omega & p^2-\omega^2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} \delta_{st}p^2\\ 0 \end{array}\right] \\ &=& \frac{\delta_{st}p^2}{\left(p^2-\omega^2\right)^2+\left(2\zeta p\omega\right)^2} \left[\begin{array}{c} p^2-\omega^2 \\ 2\zeta p\omega \end{array}\right] = \frac{\delta_{st}}{\left\{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2\right\}^2+\left(2\zeta\frac{\omega}{p}\right)^2} \left[\begin{array}{c} 1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2 \\ 2\zeta\frac{\omega}{p} \end{array}\right] \end{eqnarray*} よって，特解$x_s$は次式となる． \begin{eqnarray*} x_s= \frac{\delta_{st}}{\left\{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2\right\}^2+\left(2\zeta\frac{\omega}{p}\right)^2} \left[\left\{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2\right\}\cos\omega t + 2\zeta\frac{\omega}{p}\sin\omega t \right\} \end{eqnarray*} 一方，同次解$x?h$は，時間が経つすべて消失する関数となり，$\zeta$の値によって．少し形が変わる．ここでは，振動系を仮定して$\zeta<1$として，解を求める．即ち，同次解に対する運動方程式 \begin{eqnarray*} \ddot{x}_h + 2\zeta p\dot{x}_h + p^2x_h = 0 \end{eqnarray*} に対する特性方程式は，特性根を$\lambda$として， \begin{eqnarray*} \lambda^2 + 2\zeta p\lambda + p^2 = 0 \end{eqnarray*} となるので，特性根は \begin{eqnarray*} \lambda = -\zeta p\pm ip\sqrt{1-\zeta^2} \end{eqnarray*} となる．よって，未定係数を$C$，$D$とすると同次解は次式の形式となる． \begin{eqnarray*} x_h &=& e^{-\zeta pt}\left(Ce^{ip\sqrt{1-\zeta^2}t}+De^{-ip\sqrt{1-\zeta^2}t}\right)\\ &=& e^{-\zeta pt}\left\{\left(C+D\right)\cos p\sqrt{1-\zeta^2}t + i\left(C-D\right)\sin p\sqrt{1-\zeta^2}t\right\} \\ &=& e^{-\zeta pt}\left\{a_1\cos p\sqrt{1-\zeta^2}t + b_1\sin p\sqrt{1-\zeta^2}t\right\} \end{eqnarray*} 従って，１自由度粘性減衰系の周期加振入力による応答は次式で表現されることになる． \begin{eqnarray*} x &=& x_h + x_s \\ &=& e^{-\zeta pt}\left\{a_1\cos p\sqrt{1-\zeta^2}t + b_1\sin p\sqrt{1-\zeta^2}t\right\} + \frac{\delta_{st}}{\left\{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2\right\}^2+\left(2\zeta\frac{\omega}{p}\right)^2} \left[\left\{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2\right\}\cos\omega t + 2\zeta\frac{\omega}{p}\sin\omega t \right\} \end{eqnarray*} 第１項には，$e^{-\zeta pt}$が掛かっており，時間が経つと零となる．即ち，時間が経過した定常状態を考えると応答は次式となる． \begin{eqnarray*} x = \frac{\delta_{st}}{\left\{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2\right\}^2+\left(2\zeta\frac{\omega}{p}\right)^2} \left[\left\{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2\right\}\cos\omega t + 2\zeta\frac{\omega}{p}\sin\omega t \right\} \end{eqnarray*} 強制振動を”周期的な励振によって発生する定常振動”と称するのは，一般の系は減衰する性質を持っているので，同次解で示される自由振動解はすぐに（直に）消失し，特解で示される解のみの応答となるからである．

10.2 振幅特性，位相特性

　この応答を$\cos$でまとめると \begin{eqnarray*} x &=& \frac{\delta_{st}}{\left\{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2\right\}^2+\left(2\zeta\frac{\omega}{p}\right)^2} \sqrt{\left\{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2\right\}^2+\left(2\zeta\frac{\omega}{p}\right)^2}\cos\left(\omega t - \phi \right) \\ &=& \frac{\delta_{st}}{\sqrt{\left\{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2\right\}^2+\left(2\zeta\frac{\omega}{p}\right)^2}} \cos\left(\omega t - \phi \right) \\ \tan\phi &=& \frac{2\zeta\frac{p}{\omega}}{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2} \end{eqnarray*} 入力に対する応答振幅と位相が定まる．即ち，１自由度粘性減衰系に周期的な加振力$P\cos\omega t$が作用したときの定常応答振幅$A$，及び，位相$\phi$は次のようになる． \begin{eqnarray*} && A = \frac{\delta_{st}}{\sqrt{\left\{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2\right\}^2+\left(2\zeta\frac{\omega}{p}\right)^2}} =A(\omega) \\ && \phi = \tan^{-1}\frac{2\zeta\frac{p}{\omega}}{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2} = \phi(\omega) \end{eqnarray*} 振幅$A$，位相$\phi$共に，角周波数$\omega$の関数と見なすことができ，周波数応答を調べることができる．その結果を図10-3に示す．いくつかの減衰比$\zeta$についてプロットしており，不減衰系$\zeta=0$から$\zeta$の増大に伴い，応答振幅の大きさは小さくなり，位相遅れの様子も変化が生じることが分かる．

　
　　
　(a) 共振曲線　　　　　　　　　　　　　　(b)位相遅れ特性
　図10-3　１自由度粘性減衰系強制振動応答の周波数依存性
　


応答振幅が最大（極大）の状態は”共振状態”にある，と言われる．そこで，共振状態にあるときの振動数，即ち，共振振動数を求めてみる．ここで， \begin{eqnarray*} f\left(\frac{\omega}{p}\right)= \frac{A}{\delta_{st}} = \left[\left\{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2\right\}^2+\left(2\zeta\frac{\omega}{p}\right)^2\right]^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*} とおく．$\frac{\omega}{p}$で微分すると次式となる． \begin{eqnarray*} \frac{df\left(\frac{\omega}{p}\right)}{d\left(\frac{\omega}{p}\right)} &=& -\frac{1}{2}\left[-4\frac{\omega}{p}\left\{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2\right\}+8\zeta^2\frac{\omega}{p} \right]\left[\left\{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2\right\}^2+\left(2\zeta\frac{\omega}{p}\right)^2\right]^{-\frac{3}{2}} \\ &=& 2\frac{\omega}{p}\left[1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2-2\zeta^2\right]\left[\left\{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2\right\}^2+\left(2\zeta\frac{\omega}{p}\right)^2\right]^{-\frac{3}{2}} \end{eqnarray*} よって，$\frac{\omega}{p}=0$，$\left(\frac{\omega}{p}\right)^2=1-2\zeta^2$のとき，極値を取る．$1-2\zeta^2\geq 0$とすると，次の増減表を書くことができる．
$\frac{\omega}{p}$$\quad\quad 0\quad\quad$$\quad\quad\sqrt{1-2\zeta^2}\quad\quad$
$\quad\quad\frac{df\left(\frac{\omega}{p}\right)}{d\left(\frac{\omega}{p}\right)}\quad\quad$$\quad\quad0\quad\quad$$\quad\quad+\quad\quad$$\quad\quad 0\quad\quad$$\quad\quad -\quad\quad$
$\quad\quad f\left(\frac{\omega}{p}\right)\quad\quad$$\quad\quad\nearrow\quad\quad$$\quad\quad\searrow\quad\quad$
即ち，$1-2\zeta^2>0$，つまり，$\zeta \leq \frac{1}{\sqrt{2}}\simeq 0.707$ならば，次の共振角振動数（周波数）が存在することになる． \begin{eqnarray*} && \frac{\omega_r}{p} = \sqrt{1-2\zeta^2} \\ && \therefore \omega_r = p\sqrt{1-2\zeta^2} \end{eqnarray*} 逆に，減衰比$\zeta$がこれより大きくなると，共振振動数が存在しない，つまり，振幅が最大となるような振動数は存在しない，共振現象が現れないということになる．共振時の応答振幅は，$\omega_r=p\sqrt{1-2\zeta^2}$を代入することにより，次のようになる． \begin{eqnarray*} A_r = \frac{\delta_{st}}{\sqrt{\left\{1-\left(1-2\zeta^2\right)\right\}^2+4\zeta^2\left(1-2\zeta^2\right)}}=\frac{\delta_{st}}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} \end{eqnarray*}

10.3 演習

(1) $m$が$5$kg，粘性減衰係数$c$が$20$N/(m/s)，ばね定数$k$が$2000N$/mの図10-5に示す振動系を考える．$F_0=10$Nで$5$Hzの強制振動を与えたときの定常状態における振動応答を求めよ．また， $c$の値を10分の１である$2$N/(m/s)となった時の振動応答を求めよ．さらに，周波数が$3$Hzとなった時の各$c$に対する値も計算せよ．

　
　
　図10-5　１自由度粘性減衰系の強制振動
　


(2) 図10-6において、$m=800$kgである．これに振幅が$98$Nの強制調和力を加えたところ、強制力の周期が$0.3$sのとき共振し$2$mmの振幅を生じた．系の減衰係数、減衰比を求めよ．

　
　
　図10-6　１自由度粘性減衰系の強制振動