８．ラグランジュ方程式T
8.1 運動方程式の導出
ものづくりに際しては，物理現象を説明する，理解する，応用する，制御する，ことを実験的な方法だけでなく，理論的な方法，即ち，理論解析にも取り組む必要がある．そのためには，物理現象の”可視化（イメージ化）”，抽象化（数式表現）”の両方が必要不可欠となる．機械力学で取り扱う運動のイメージ化として，力：力と運動＿Newtonの第２法則を基本として，運動方程式の導出（数式化）を行ってきたが，複雑な現象の理解に当たっては，多面的な観点からのアプローチも手助けとなりえ，運動量と力積：力と作用時間やエネルギー：力と移動量といった概念からのイメージ化からの導出も必要な場合がある．特に，”エネルギー”という概念は，運動における運動エネルギーだけでなく，電気・電子エネルギー，化学エネルギーなど他の分野においてもイメージ化に利用できるものであるので，物体の運動が電気的変化や化学的変化を伴うような現象を考える際には，それらの相互作用を一貫した考え方で行う必要となる．最終的には，相互作用が反映された”基礎方程式”を導出し，それに基づく解析を実施し，現象について調べるということになる．ここでは，運動方程式の導出に際して，元になる考え方のイメージについていくつか考察してみる．
座標系を設定し，変位（ベクトル）$\mathbf{x}$とその時間微分の速度ベクトル$\dot{\mathbf{x}}$，$\ldots$，及び作用力ベクトル$\mathbf{f}$を定義する．
@ Newton's second law of motion
速度ベクトル，力ベクトルの要素を次に様に一般的に表わすことにする．
\begin{eqnarray*}
&& \mathbf{v}=\left[\begin{array}{cccc}
v_1\text{,} & v_2\text{,}&\ldots\text{,}&v_n
\end{array}\right]^T \\
&& \mathbf{f}=\left[\begin{array}{cccc}
f_1\text{,} & f_2\text{,}&\ldots\text{,}&f_n
\end{array}\right]^T
\end{eqnarray*}
質量$m$の単一の質点に対して運動法則，即ち，ニュートンのだ２法則を式で示すと
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}\left(m\mathbf{v}\right)=\mathbf{f}
\end{eqnarray*}
対象とする系に対して，質量行列$\mathbf{M}$が提示できる場合は，次式のように記述できる．
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}\left(\mathbf{M}\mathbf{v}\right)=\mathbf{f}
\end{eqnarray*}
A d'Alembert's principle(ダランベールの原理)
「ニュートンの第２法則で考える左辺を慣性力という力として解釈して，静的な釣合式と同じ扱いする考え方」
即ち，慣性力を$\mathbf{f}_I$として，全体として力が釣り合っていると考えると
\begin{eqnarray*}
\mathbf{f} + \mathbf{f}_I = \mathbf{0}
\end{eqnarray*}
ここで，右辺は零ベクトルであり，単一質点に対して
\begin{eqnarray*}
\mathbf{f}_I = -\frac{d}{dt}\left(m\mathbf{v}\right)
\end{eqnarray*}
なる”慣性力”を定義すると次の関係式を得る．
\begin{eqnarray*}
\mathbf{f} -\frac{d}{dt}\left(m\mathbf{v}\right) = \mathbf{0}
\end{eqnarray*}
ニュートンの第２法則の変形に過ぎないが，すべて力で考えるという考え方で材料力学や弾性力学の分野ではこの考え方がよく用いられる．
B エネルギー保存則
エネルギー保存則もそれが成り立つような運動状態であれば，その考え方で運動方程式を求めることができる（と考えられる）．即ち，系の運動エネルギーを$T$，ポテンシャルエネルギーを$U$とするとき，力学的エネルギー保存則は，$T+U=$一定 となるので，これを時間で微分すると次式となる．
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}\left(T+U\right) = 0
\end{eqnarray*}
例えば，図8-1に示す１自由度ばね-質点系に関してこの関係を考えてみる．質量$m$の物体が$x$変位し，ばね定数$k$のばねが$x$伸び，その時の速度が$\dot{x}$とすると運動エネルギー，ポテンシャルエネルギーはそれぞれ次のようになる．
\begin{eqnarray*}
&& T = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 \\
&& U = \frac{1}{2}kx^2
\end{eqnarray*}
よって
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}\left(T+U\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}kx^2\right) = 0
\end{eqnarray*}
即ち，
\begin{eqnarray*}
&& m\ddot{x}\dot{x} + kx\dot{x} =0 \\
&& \therefore \dot{x}\left(m\ddot{x} + kx\right) = 0
\end{eqnarray*}
この式を，”任意の$\dot{x}$に対して成り立つためには”と考えると，
\begin{eqnarray*}
m\ddot{x} + kx = 0
\end{eqnarray*}
というよく知られた１自由度系の運動方程式となる．
図8-1 １自由度ばね-質点系の振動
C Principle of virtual work(仮想仕事の原理)
ある力学場を考え，「釣り合い状態にある系に仮想仕事$\delta\mathbf{x}$を与えた場合，そこでに働いている力は仕事をしない」という考え方であり，ベクトル量で表現される力の釣合いを仕事，つまり，エネルギーに対応するスカラー量に変換して考える考え方で，作用力$\mathbf{f}$による仕事$W_f$と慣性力$\mathbf{f}_I$が仮想変位に対してする仕事
\begin{eqnarray*}
&& W_f = \mathbf{f}\cdot\delta\mathbf{x} \\
&& W_I = \mathbf{f}_I\cdot\delta\mathbf{x} = - \frac{d}{dt}\left(m\mathbf{f}\right)\cdot\delta\mathbf{x}
\end{eqnarray*}
に関して，仮想仕事の原理を適用すると，
\begin{eqnarray*}
&& W_f + W_I = 0 \\
&& \therefore \mathbf{f}\cdot\delta\mathbf{x} + \left\{-\frac{d}{dt}\left(m\mathbf{f}\right)\cdot\delta\mathbf{x}\right\} =0
\end{eqnarray*}
といった定式化になる．
熱力学第一法則との関連を考えると様々な現象をエネルギーと仕事という形で捉え，全体の関係性を導く，即ち，基礎方程式を導出するというやり方は，より一般的な方法として利用できるではないかということが予想される（かもしれない）．そこで，系の持つエネルギーやなされる仕事を考えることにより，運動方程式を導出する方法について考察する．
8.2 一般座標と仮想変位
物体の状態をより一般的に表現するために，一般座標という概念を取り入れる．即ち，自由度が$N$である系を考え，その系の自由度と同じ数の$N$個の互いに独立な変数で表現可能となる次のような一般座標を考える．
\begin{eqnarray*}
q_k = q_k\left(t\right) \quad\left(k=1,2,\ldots,N\right)
\end{eqnarray*}
対象とする系の$n$個の点の３次元位置座標を直交座標系で表わすことにし，一般座標と対応付けて以下のように表現することにする．
\begin{eqnarray*}
\left.\begin{array}{l}
x_i = x_i\left(q_1,\ q_2,\ \ldots ,\ q_N,\ t\right) \\
y_i = y_i\left(q_1,\ q_2,\ \ldots ,\ q_N,\ t\right) \\
z_i = x_i\left(q_1,\ q_2,\ \ldots ,\ q_N,\ t\right)
\end{array}\right\}
\end{eqnarray*}
ここで，$i =\begin{array}{cccc}1,&2,&\ldots,&n\end{array}$である．全微分して，運動エネルギーと関連する速度成分を計算しておく．$x$方向成分に計算すると，
\begin{eqnarray*}
\dot{x}_i &=& \frac{dx_i}{dt} = \frac{d}{dt}\left\{x_i\left(q_1,\ q_2,\ \ldots ,\ q_N,\ t\right) \right\} \\
&=& \frac{\partial x_i}{\partial q_1}\frac{\partial q_1}{\partial t}+\frac{\partial x_i}{\partial q_2}\frac{\partial q_2}{\partial t}+\ldots +\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\frac{\partial q_k}{\partial t} +\ldots+ \frac{\partial x_i}{\partial q_N}\frac{\partial q_N}{\partial t} + \frac{\partial x_i}{\partial t}\\
&=& \sum_{k=1}^{N}\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\frac{\partial q_k}{\partial t}+\frac{\partial x_i}{\partial t} =\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\dot{q}_k + \frac{\partial x_i}{\partial t}
\end{eqnarray*}
この式を$\dot{q}_k$で偏微分すると次の関係式が得られる．
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial\dot{x}_i}{\partial\dot{q}_k} = \frac{\partial x_i}{\partial q_k}
\end{eqnarray*}
$y_i$，$z_i$に対しても同様な変形ができるので，$n$個の各質点の速度成分は次のように表現できることになる．
\begin{eqnarray*}
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}_i = \displaystyle{\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\dot{q}_k + \frac{\partial x_i}{\partial t}} \\
\dot{y}_i = \displaystyle{\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial y_i}{\partial q_k}\dot{q}_k + \frac{\partial y_i}{\partial t}} \\
\dot{z}_i = \displaystyle{\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial z_i}{\partial q_k}\dot{q}_k + \frac{\partial z_i}{\partial t}}
\end{array}\right\}
\end{eqnarray*}
更に，釣り合い状態における仕事の概念を取り入れるために，仮想変位をこの一般座標で表現しておく．即ち，次のような関係となる．
\begin{eqnarray*}
\left.\begin{array}{l}
\delta x_i = \frac{\partial x_i}{\partial q_1}\delta q_1 + \frac{\partial x_i}{\partial q_2}\delta q_2 + \ldots + \frac{\partial x_i}{\partial q_N}\delta q_N = \displaystyle{\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\delta q_k } \\
\delta y_i = \displaystyle{\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial y_i}{\partial q_k}\delta q_k } \\
\delta z_i = \displaystyle{\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial z_i}{\partial q_k}\delta q_k }
\end{array}\right\}
\end{eqnarray*}
8.3 一般力
$N$自由度系の$n$個の点に作用する力ベクトル
\begin{eqnarray*}
\mathbf{f}_i =X_i\mathbf{i} + Y_i\mathbf{j} + Z_i\mathbf{k} =\left[\begin{array}{ccc}X_i&Y_i&Z_i\end{array}\right]^T \quad (i=1,2,\ldots,n)
\end{eqnarray*}
を考え，これらの力による仮想仕事$\delta W$を考える．即ち，各作用点に仮想変位
\begin{eqnarray*}
\delta\mathbf{r}_i = \left[\begin{array}{ccc}\delta x_i&\delta y_i& \delta z_i\end{array}\right]^T \quad (i=1,2,\ldots,n)
\end{eqnarray*}
を考えると，仮想仕事は，力と変位の内積となるので，
\begin{eqnarray*}
\delta W &=& \sum_{i=1}^n \mathbf{f}\cdot\delta\mathbf{r}_i =\sum_{i=1}^n\left(X_i\delta x_i + Y_i\delta y_i + Z_i\delta z_i\right)=\sum_{i=1}^n\left(X_i\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\delta q_k+ Y_i\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial y_i}{\partial q_k}\delta q_k+Z_i\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial z_i}{\partial q_k}\delta q_k\right)\\
&=&\sum_{k=1}^{N}\sum_{i=1}^n\left(X_i\frac{\partial x_i}{\partial q_k}+ Y_i\frac{\partial y_i}{\partial q_k}k+Z_i\frac{\partial z_i}{\partial q_k}\right)\delta q_k \equiv \sum_{k=1}^{N}Q_k\delta q_k
\end{eqnarray*}
のようにまとめることができるので，
\begin{eqnarray*}
Q_k=\sum_{i=1}^n\left(X_i\frac{\partial x_i}{\partial q_k}+ Y_i\frac{\partial y_i}{\partial q_k}k+Z_i\frac{\partial z_i}{\partial q_k}\right)
\end{eqnarray*}
を一般座標に対応して現れる”一般力”として定義することができる．
8.4 運動エネルギーにおける関係
一般座標系で表現された運動エネルギーに関する関係式を導出するために，まず，$n$個の質点に対してニュートンの第２法則を考え，そこに仮想変位を掛けるという操作を行う．即ち，
$i=1,2,\ldots,n$のうちの$i$番目の質量$m_i$の質点の座標点$\mathbf{r}_i=[x_i,y_i,z_i]^T$と作用力$\mathbf{f}_i=[X_i,Y_i,Z_i]^T$に関する関係から
\begin{eqnarray*}
\left.\begin{array}{l}
\frac{d}{dt}\left(m_i\dot{x}_i\right)\delta x_i = X_i \delta x_i \\
\frac{d}{dt}\left(m_i\dot{y}_i\right)\delta y_i = Y_i \delta y_i \\
\frac{d}{dt}\left(m_i\dot{z}_i\right)\delta z_i = Z_i \delta z_i
\end{array}\right\}
\end{eqnarray*}
第１式左辺を変形する．
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}\left(m_i\dot{x}_i\right)\delta x_i =\frac{d}{dt}\left(m_i\dot{x}_i\delta x_i\right)-m_i\dot{x}_i\delta\dot{x}_i
\end{eqnarray*}
ここで，
\begin{eqnarray*}
\delta\dot{x}_i =\frac{d}{dt}\left(\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\delta q_k \right) =\sum_{k=1}^{N}\left\{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial x_i}{\partial q_k} \right)\delta q_k+\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\delta\dot{q}_k \right\} = \sum_{k=1}^{N}\left(\frac{\partial\dot{x}_i}{\partial q_k}\delta q_k + \frac{\partial x_i}{\partial q_k}\delta\dot{q}_k \right)
\end{eqnarray*}
よって，
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}\left(m_i\dot{x}_i\right)\delta x_i &=&\frac{d}{dt}\left(m_i\dot{x}_i\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\delta q_k\right)-m_i\dot{x}_i\sum_{k=1}^{N}\left(\frac{\partial\dot{x}_i}{\partial q_k}\delta q_k+\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\delta\dot{q}_k \right) \\
&=& \sum_{k=1}^{N}\left\{ \frac{d}{dt}\left(m_i\dot{x}_i\frac{\partial\dot{x}_i}{\partial\dot{q}_k}\delta q_k\right)-m_i\dot{x}_i\left(\frac{\partial\dot{x}_i}{\partial q_k}\delta q_k+\frac{\partial \dot{x}_i}{\partial \dot{q}_k}\delta\dot{q}_k \right)\right\}\\
&=& \sum_{k=1}^{N}\left[ \frac{d}{dt}\left\{\frac{\partial}{\partial\dot{q}_k}\left(\frac{1}{2}m_i\dot{x}_i^2\right)\delta q_k\right\} - \frac{\partial}{\partial q_k}\left(\frac{1}{2}m_i\dot{x}_i^2\right)\delta q_k - \frac{\partial}{\partial\dot{q}_k}\left(\frac{1}{2}m_i\dot{x}_i^2\right)\delta\dot{q}_k\right] \\
&=& \sum_{k=1}^{N}\left[ \frac{d}{dt}\left\{\frac{\partial}{\partial\dot{q}_k}\left(\frac{1}{2}m_i\dot{x}_i^2\right)\right\}\delta q_k + \frac{\partial}{\partial\dot{q}_k}\left(\frac{1}{2}m_i\dot{x}_i^2\right)\delta\dot{q}_k - \frac{\partial}{\partial q_k}\left(\frac{1}{2}m_i\dot{x}_i^2\right)\delta q_k - \frac{\partial}{\partial\dot{q}_k}\left(\frac{1}{2}m_i\dot{x}_i^2\right)\delta\dot{q}_k\right] \\
&=& \sum_{k=1}^{N}\left[ \frac{d}{dt}\left\{\frac{\partial}{\partial\dot{q}_k}\left(\frac{1}{2}m_i\dot{x}_i^2\right)\right\} - \frac{\partial}{\partial q_k}\left(\frac{1}{2}m_i\dot{x}_i^2\right)\right]\delta q_k
\end{eqnarray*}
これが，$X_i\delta x_i$と等しいという関係が得られる．$y_i$，$z_i$に関しても同様なので，次式を得る．
\begin{eqnarray*}
&& \frac{d}{dt}\left(m_i\dot{x}_i\right)\delta x_i = \sum_{k=1}^{N}\left[ \frac{d}{dt}\left\{\frac{\partial}{\partial\dot{q}_k}\left(\frac{1}{2}m_i\dot{x}_i^2\right)\right\} - \frac{\partial}{\partial q_k}\left(\frac{1}{2}m_i\dot{x}_i^2\right)\right]\delta q_k = X_i\delta x_i \\
&& \frac{d}{dt}\left(m_i\dot{y}_i\right)\delta y_i = \sum_{k=1}^{N}\left[ \frac{d}{dt}\left\{\frac{\partial}{\partial\dot{q}_k}\left(\frac{1}{2}m_i\dot{y}_i^2\right)\right\} - \frac{\partial}{\partial q_k}\left(\frac{1}{2}m_i\dot{y}_i^2\right)\right]\delta q_k = Y_i\delta y_i \\
&& \frac{d}{dt}\left(m_i\dot{z}_i\right)\delta z_i = \sum_{k=1}^{N}\left[ \frac{d}{dt}\left\{\frac{\partial}{\partial\dot{q}_k}\left(\frac{1}{2}m_i\dot{z}_i^2\right)\right\} - \frac{\partial}{\partial q_k}\left(\frac{1}{2}m_i\dot{z}_i^2\right)\right]\delta q_k = Z_i\delta z_i
\end{eqnarray*}
ここで，$n$個の質点に対するこれらの関係を全て加えることにする．元の関係は
\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^n\left\{\frac{d}{dt}\left(m_i\dot{x}_i\right)\delta x_i +\frac{d}{dt}\left(m_i\dot{y}_i\right)\delta y_i +\frac{d}{dt}\left(m_i\dot{z}_i\right)\delta z_i\right\}=\sum_{i=1}^n\left(X_i\delta x_i + Y_i\delta y_i + Z_i\delta z_i\right)
\end{eqnarray*}
となり，上の関係式と一般力の定義から次式を得る．
\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^N\left[\frac{d}{dt}\left\{\frac{\partial}{\partial\dot{q}_k}\left(\frac{1}{2}m_i\left[\dot{x}_i^2+\dot{y}_i^2+\dot{z}_i^2\right]\right)\right\} - \frac{\partial}{\partial q_k}\left\{\frac{1}{2}m_i\left(\dot{x}_i^2+\dot{y}_i^2+\dot{z}_i^2\right)\right\}\right]\delta q_k = \sum_{k=1}^NQ_k\delta q_k
\end{eqnarray*}
対象とする系の運動エネルギー$T$は次のように表現できる．
\begin{eqnarray*}
T = \sum_{i=1}^n\frac{1}{2}m_i\left(\dot{x}_i^2+\dot{y}_i^2+\dot{z}_i^2\right)
\end{eqnarray*}
従って，次のような関係式が定まる．
\begin{eqnarray*}
\sum_{k=1}^N\left\{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_k}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_k}\right\}\delta q_k = \sum_{k=1}^NQ_k\delta q_k
\end{eqnarray*}
$\delta q_k$は任意に取れるので，次の関係が成立することになる．
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_k}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_k} = Q_k\quad\left(k=1,2,\ldots,N\right)
\end{eqnarray*}
一般座標で表現された運動エネルギー$T$と一般力$Q_k$の関係を表しており，運動エネルギーのみを考えた場合のLagrange方程式と呼ばれる．
8.5 演習
１．図8-2に示す系において，全運動エネルギーを求め，$x_1$，$x_2$を一般座標とし，対応する一般力を定義して，運動エネルギーのみから定まる運動方程式をLagrange方程式を用いて求めよ．
図8-2 ２自由度系振動系
２．図8-3に示すような系の上下並進運動と面内の回転運動に対する運動を考える．間隔$l$で，質量$m$の３つの物体をつないでいる棒の質量は無視でき，重心変位を$x$，重心回りの回転を$\theta$として，系全体の運動エネルギーを求め，対応する一般力を定義して，運動エネルギーのみを用いてLagrange方程式から運動方程式を求めよ．
図8-3 集中質量を配した系の上下-ピッチ振動モデル
３．次の問いに答えよ．
(1) 水平面内を運動する質量$m$の物体を考える．極座標系$(r,\theta)$を一般座標として，質量$m$の物体の運動に対してLagrange方程式を適用し，運動方程式を求めよ．ここで，一般力は$Q_r(t)$，$Q_\theta$とする．
(2) $(x,y)$座標系で表した力を$Q_x(t)$，$Q_y(t)$とするとき，一般力$Q_r(t)$，$Q_\theta$との関係を示せ．
図8-4 $(r,\theta)$座標系の質点の振動