11．連続体の振動問題T（弦の横振動）
これまでのモデル化においては，図11-1に示すように，分布している質量を一点に集中している仮定して，その質量とばねのモデルで振動問題を考えてきた．図(a)では，棒の軸方向の振動を棒の先端に質量があると仮定して定まる”等価質量”と棒の軸方向の剛性により定まる等価ばね定数を定め，１自由度振動系モデルを考える．また，図(b)のように，質量を離散的に２点に振り分け，その間をばね特性を持つ要素で多自由度（ここでは２自由度）系でモデル化することを考えた．しかしながら，必ずしも集中質量に置き換えたり，等価ばねで繋ぐようなモデルで考えなければならないわけではなく，対象に応じては，分布した様子がそのまま分かるようなモデル化をした方が現象を理解し易い場合もある．ここでは，分布質量系に分類される基本的なモデルを紹介する．
図11-1 集中質量系へのモデル化
11.1 弦の運動方程式
図11-1(b)の上側に示したように長さ方向に波が伝わるように上下するような振動を示す系は，”弦モデル”として，モデル化することができる．弦モデルでは，線密度$\rho_L$と張力$T$を与え，分布した質量と張力の相互作用で振動する現象を考える．図11-2に示すように弦の長さ方向に$x$座標を取り，その直交方向下向きに弦の横（撓み）変位を$y$とする．この横変位$y$は，時間的に変化すると共に，$x$方向に分布するので，図11-2に示すように，時刻$t$と$x$座標の関数$y=y(x,t)$の形式で表現できる．このとき張力$T$は変化しないと仮定する．
図11-2 弦モデル
運動方程式の導出に際しては，図に示すように”ある位置$x$（任意）における微小長さ$dx$を取り出し，その微小部分の両端に発生する力を考える．微小部分の左側である$x$の位置の横変位は$y(x,t)$であり，右側は微小長さ分座標がずれるので$y(x+dx,t)$となる．また，図に示す微小要素両端の張力$T$が水平に引いた線となす左右の角度をそれぞれ$\theta_1$，$\theta_2$とすると
\begin{eqnarray*}
&& \tan\theta_1=\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}\\
&& \tan\theta_2=\frac{\partial y(x+dx,t)}{\partial x}
\end{eqnarray*}
であり，$\theta_1\ll 1$，$\theta_2\ll 1$とすると
\begin{eqnarray*}
&& \tan\theta_1\approx\theta_1=\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}\\
&& \tan\theta_2\approx\theta_2=\frac{\partial y(x+dx,t)}{\partial x}
\end{eqnarray*}
弦の両端に発生する上下方向の力$f_y(x,t)$，$f_x(x,t)$を考えると，微小要素両端に発生する張力$T$の$x$方向，$y$方向の分力を考えれば良いので，次式のように表わすことができる．
\begin{eqnarray*}
\left.\begin{array}{l}
f_x(x,t) = - T\cos\theta_1= -T\cos\frac{\partial y(x,t)}{\partial x} \approx - T \\
f_y(x,t) = - T\sin\theta_1= -T\sin\frac{\partial y(x,t)}{\partial x} \approx -T\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}
\end{array}\right\}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\left.\begin{array}{l}
f_x(x+dx,t) = T\cos\theta_2=T\cos\frac{\partial y(x+dx,t)}{\partial x} \approx T\\
f_y(x+dx,t) = T\sin\theta_2=T\sin\frac{\partial y(x+dx,t)}{\partial x} \approx T\frac{\partial y(x+dx,t)}{\partial x}
\end{array}\right\}
\end{eqnarray*}
よって，微小要素に対する水平方向のすべての作用力の和は
\begin{eqnarray*}
-f_x(x,t) + f_x(x+dx,t) = -T + T =0
\end{eqnarray*}
となるので，水平方向には運動しないことが分かる．微小要素の鉛直方向の運動に関してNewtonの第２法則を考えると
\begin{eqnarray*}
\rho_Ldx\frac{\partial^2y(x,t)}{\partial t^2} = -f_y(x,t) + f_y(x+dx,t) = -T\frac{\partial y(x,t)}{\partial x} + T\frac{\partial y(x+dx,t)}{\partial x}
\end{eqnarray*}
となる．ここで，右辺第２項の$\frac{\partial y(x+dx,t)}{\partial x}$をTaylor展開すると
\begin{eqnarray*}
\rho_Ldx\frac{\partial^2y(x,t)}{\partial t^2} = -T\frac{\partial y(x,t)}{\partial x} + T\left\{\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}+\frac{dx}{1!}\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2} + \frac{dx^2}{2!}\frac{\partial^3 y(x,t)}{\partial x^3} + \ldots \right\}
\end{eqnarray*}
よって，$dx\ll 1$より，次式を得る．
\begin{eqnarray*}
\rho_Ldx\frac{\partial^2y(x,t)}{\partial t^2} = Tdx\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\therefore \rho_L\frac{\partial^2y(x,t)}{\partial t^2} = T\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2}
\end{eqnarray*}
$x$と$t$の関数になるのは自明であるので，表記を省略すると次のような運動方程式が定まる．
\begin{eqnarray*}
&& \frac{\partial^2y}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \\
&& c=\sqrt{\frac{T}{\rho_L}}
\end{eqnarray*}
この運動方程式は，一次元の波動方程式，あるいは，２階の線形偏微分方程式，あるいは，双曲型偏微分方程式と呼ばれる形式となる．
11.2 弦の規準振動
弦がある単一の角振動数$\omega_n$で振動する場合を考える．波動方程式で記述される空間においては，一般に波が進行方向に伝播（進行波）したり，逆方向に伝播（後退波）する波動現象が現れるが，振動形態（モード）が一つのみ現れる場合には，それが定在波となるため，空間に関する変動と時間的な変動を分離して考えることができる．このような振動は，規準振動と呼ばれ，$y(x,t)$を次のように置くことができる．
\begin{eqnarray*}
y\left(x,t\right) = Y_n(x)e^{i\omega_nt}
\end{eqnarray*}
ここで，$Y_n(x)$は，$x$軸方向に分布する振幅変化（振幅分布関数）を表しており，そのような振幅分布になるときの角振動数が$\omega_n$ということになる．この式を運動方程式に代入して整理する．
\begin{eqnarray*}
&& -\omega_n^2Y_n(x) = c^2\frac{d^2Y(x)}{dx^2} \\
&& \therefore \frac{d^2Y(x)}{dx^2}+\frac{\omega_n^2}{c^2}Y_n(x) = 0
\end{eqnarray*}
よって，$\omega_n$が確定されれば，この式は$Y(x)$に関する定数係数の線形常微分方程式となるので，特性根を$\lambda$として，$Y_n(x)=Ye^{\lambda x}$を代入して，特性方程式を求める．
\begin{eqnarray*}
\left(\lambda^2+\frac{\omega_n^2}{c^2}\right)=0
\end{eqnarray*}
よって，特性根は，
\begin{eqnarray*}
\lambda = \pm i\frac{\omega_n}{c}
\end{eqnarray*}
となるので，$Y_n(x)$は次式となる．
\begin{eqnarray*}
Y(x) &=& a_1e^{i\frac{\omega_n}{c}x} + b_1e^{-i\frac{\omega_n}{c}x} \\
&=& Y_1\cos\frac{\omega_n}{c}x + Y_2\sin\frac{\omega_n}{c}x
\end{eqnarray*}
以上から，弦が単一モードで振動（規準振動）するとき，$Y_1$，$Y_2$を任意定数として次のような振動応答解を考えることができる．
\begin{eqnarray*}
y\left(x,t\right) =\left(Y_1\cos\frac{\omega_n}{c}x + Y_2\sin\frac{\omega_n}{c}x\right)e^{i\omega_nt}
\end{eqnarray*}
11.3 固有振動数と固有モード
弦の運動方程式は微小要素における運動を記述しているもので，規準振動を仮定して出てきた解は，任意の位置$x$のある時刻$t$（任意）の運動を表現している．そこで，弦の長さを考えて，弦の両端の条件を定め，その時の関係を定めることにする．弦の長さを$l$として，弦の両端の座標位置$x=0$，$x=l$の条件，すなわち，境界条件を定めることにする．
両端固定
図10-1(b)の上側の図で示したような両端が固定（拘束）されている場合を考える．この場合の条件は，
\begin{eqnarray*}
y\left(0,t\right) = y\left(l,t\right) = 0
\end{eqnarray*}
となるので，任意の時刻において，
\begin{eqnarray*}
Y\left(0\right) = Y\left(l\right) = 0
\end{eqnarray*}
となることが必要となる．即ち，
\begin{eqnarray*}
&& Y\left(0\right) = Y_1\cos(0) + Y_2\sin(0)= Y_1 =0\\
&& Y\left(l\right) = Y_1\cos\frac{\omega_n}{c}l + Y_2\sin\frac{\omega_n}{c}l =Y_2\sin\frac{\omega_n}{c}l = 0
\end{eqnarray*}
$Y_2$は，どんな値も取り得る任意定数なので，次の関係が定まる．
\begin{eqnarray*}
\sin\frac{\omega_n}{c}l = 0
\end{eqnarray*}
このように，規準振動に対して，境界条件を与えることにより定まる関係式は，振動数方程式と呼ばれ，規準振動の固有振動数と固有モードを決定する関係式となる．即ち，$\sin$が零となる条件により，振動数方程式の解は次のようになる．
\begin{eqnarray*}
\frac{\omega_n}{c}l = n\pi (n=1,2,\ldots,)
\end{eqnarray*}
即ち，振動数方程式を満足する解は無限個定まる．まずこの関係式から，規準振動の角振動数は，
\begin{eqnarray*}
\omega_n = \frac{n\pi}{l}c = \frac{n\pi}{l}\sqrt{\frac{T}{\rho}}
\end{eqnarray*}
の関係式で定まることになる．$n$の値により，飛び飛びの値となるが，規準振動を振動を規定する振動数であり，第$n$次の固有角振動数と呼ばれる．この値が定まると$x$軸方向に分布する振幅関数$Y_n(x)$は次のようになる．
\begin{eqnarray*}
Y_n(x) = Y_2\sin\frac{\omega_n}{c}x = Y_2\sin\frac{n\pi}{l}x
\end{eqnarray*}
よって，最大振幅が１となるように$Y_2=1$として，第$n$の正規関数として次のように定めることができる．
\begin{eqnarray*}
Y_n(x) = \sin\frac{n\pi}{l}x
\end{eqnarray*}
このようにして定まる振幅分布関数は，固有モード関数と呼ばれ固有角振動数$\omega_n$に対応して定まる．固有振動数で振動している時の空間的な振動形態を表現することになる．弦の今日介助犬が両端固定の場合の振動モードを図11-3に示す．
図11-3 両端が固定された弦の１次から３次までの固有（振動）モード
11.4 弦の自由振動
２自由度振動系からの類推で分かると思われるが，弦のように固有角振動数が無限個あるような系では，それらのどの振動数でも振動する可能性があるので，固有角振動数と固有モードで表現されるすべての規準振動の重ね合わせとして自由振動が現れると考える．即ち，自由振動応答の一般解は，未定係数を$\alpha_n$として，次のように表現される．
\begin{eqnarray*}
y\left(x,t\right) = \sum_{n=1}^{\infty}Y_n(x)\alpha_ne^{i \omega_nt}
\end{eqnarray*}
境界条件が与えられると，固有角振動数$\omega_n$と固有モード関数$Y_n(x)$が定まる．さらに，初期条件を与えることによって，$\alpha_n$を定めることになるが，この$\alpha_n$は，複素振幅であるので，実部，虚部に対応する２つの未知数を決める必要がある．両端固定の境界条件では，$Y_n(x)=\sin\frac{n\pi}{l}x$となるので，次のように表すことができる．
\begin{eqnarray*}
y\left(x,t\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{n\pi}{l}x\alpha_ne^{i \omega_nt}=\sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{n\pi}{l}x\left(A_n\cos\omega_nt+B_n\sin\omega_nt\right)
\end{eqnarray*}
未知数が２つになるのは，これまで同様，$t=0$の時の値とその一回微分した値の２つを与えないと，系の運動状態を決めることができないという微分方程式の階数（二階）によるものである．よって，時間微分を求めると
\begin{eqnarray*}
\dot{y}\left(x,t\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{n\pi}{l}x\omega_n\left(-A_n\sin\omega_nt+B_n\cos\omega_nt\right)
\end{eqnarray*}
となる．$y$，$\dot{y}$とも$t=0$の時，座標系$x$の関数となるので，初期条件としては，それぞれ$x$の関数として，初期変位分布$f(x)$と初期速度分布$g(x)$を与える必要がある事が分かる．
即ち，初期条件は次のように与えられることになる．
\begin{eqnarray*}
&& y\left(x,0\right) = \sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin\frac{n\pi}{l}x = f(x) \\
&& \dot{y}\left(x,0\right) =\sum_{n=1}^{\infty}B_n\omega_n\sin\frac{n\pi}{l}x = g(x)
\end{eqnarray*}
$A_n$，$B_n$を求めるために，次のような正規関数の直交性を利用する．
\begin{eqnarray*}
\int_0^l\sin\frac{n\pi}{l}x\sin\frac{m\pi}{l}xdx &=& \frac{1}{2}\int_0^l\left\{\cos\frac{(n-m)\pi}{l}x-\cos\frac{(n+m)\pi}{l}x\right\}dx \\
&=& \frac{1}{2}\left[\frac{l}{(n-m)\pi}\sin\frac{(n-m)\pi}{l}x - \frac{l}{(n+m)\pi}\sin\frac{(n+m)\pi}{l}x\right]0^l \\
&=& \frac{l}{2}\left[\frac{\sin(n-m)\pi}{(n-m)\pi}\right] = \left\{\begin{array}{ll}
\frac{l}{2} & (n=m) \\
0 & (n\neq m) \end{array}\right.
\end{eqnarray*}
即ち，初期条件を表わす関係式に$\sin\frac{m\pi}{l}x$を掛け，$x$に関して，$0$から$l$まで積分すると，$\sum_{n=1}^{\infty}$の中の該当する項$m=n$の項のみが値を取ることになるので，次式に示す関係式が定まる．
\begin{eqnarray*}
&& A_n=\frac{2}{l}\int_0^lf(x)\sin\frac{n\pi}{l}xdx \\
&& B_n=\frac{2}{l\omega_n}\int_0^lg(x)\sin\frac{n\pi}{l}xdx
\end{eqnarray*}
11.5 演習
(1) 両端固定，長さ$l$の弦を釣合位置から引張り，放物線形$4y_0x\left(l-x\right)/l^2$に保つ．$t=0$において突然これを自由にしたとすると弦の振動はどのようになるか．
(2) 下図に示すように，長さ$l$の弦の端から$s$の位置で，$a$のたわみを与えて放した．弦の自由振動解を求めよ．
図11-4 弦の自由振動
(3) 教科書170ページで述べられているように，波動方程式
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial^2y}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2y}{\partial x^2}
\end{eqnarray*}
に対する一般解は，$f_1$，$f_2$を任意の関数として，
\begin{eqnarray*}
y=f_1\left(x-ct\right)+f_2\left(x+ct\right)
\end{eqnarray*}
の形式で与えられる．上式が波動方程式を満足することを示しなさい．
(4) 線密度$\rho=3.36\times10^{-3}$kg/m，張力$T=1100$Nのギターの第５弦の横波の速度を求めよ．太い弦（第６弦）と細い弦（第１弦）とではどちらの横波が速いか．