12．連続体の振動問題U（棒の縦振動）
12.1 連続体における力と変形の記述
図12-1に示すようにデカルト座標系$xyz$を定め，対象物体の任意位置$\left(x,y,z\right)$において，$xyz$各軸方向にそれぞれ$dx$，$dy$，$dz$の微小な辺で形成される直方体を考える．直方体の向かい合った面は各軸に対して垂直であり，各対面は図に示すように，その軸方向に辺の長さ分だけ座標点が変化する．
図12-1 物体の任意点位置の微小要素
この直方体微小要素に作用する力を考え，運動方程式を導出することを考える．図12-2に示すように，作用力として，$x$軸に垂直は２つの面に，面に垂直に働く単位面積当たりの力（応力）$\sigma_{xx}$と面と平行に，$y$軸，及び，$z$軸方向に働く単位面積当たりの力（応力）$\tau_{xy}$，$\tau_{xz}$を黒で表した矢印ように大きさと方向を考えることができ，$x$座標が$x+dx$の面に働く力を各軸方向と同じ方向とすると，静的な釣り合い状態においては，これらの力と釣り合う力が相対する面で働くと考えられるので，方向が逆の同様の単位面積当たりの力（応力）を考えることができる．$y$軸，$z$軸に垂直な相対する２つの面についても同様であり，$z$軸に垂直な２つの面に働く単位面積当たりの力（応力）に関しては赤色の矢印のように，面に垂直な応力$\sigma_{zz}$，面に平行な$x$軸，$y$軸方向の応力$\tau_{zx}$，$\tau_{zy}$を考えることができる．また図中には示していないが，$y$軸に垂直な２つの面に働く単位面積当たりの力（応力）は，面に垂直な応力$\sigma_{yy}$，面に平行な$z$軸，$x$軸方向の応力$\tau_{yz}$，$\tau_{yx}$を考えることができる．
直方体に作用する力は，各応力を定義した面の面積をかけた値であり，その方向は矢印の方向と対応する．ここで，点$\left(x,y,z\right)$と点$\left(x,y+dy,z\right)$を通る$y$軸回りのモーメント考えると，腕の長さが$dx$で$z$軸方向の力$\tau_{zx}dydz$と腕の長さが$dz$で$x$軸方向の力$\tau_{zx}dxdy$の２つのモーメントが存在し，それぞれ$y$軸方向に対して，左回り（負方向）と右回りの逆方向となるので，静的な釣り合い状態でこの直方体が回転を生じないと考えると次の関係が成り立つことになる．
\begin{eqnarray*}
&& - dx\times\tau_{xz}dydz + dz\times\tau_{zx}dxdy = 0 \\
&& \left(-\tau_{xz} + \tau_{zx}\right)dxdydz = 0 \\
&& \therefore -\tau_{xz} + \tau_{zx} = 0
\end{eqnarray*}
同様に，静的な釣り合い状態の$x$軸，$z$軸回りのモーメントの釣合いを考えると，次の関係が定まる．
\begin{eqnarray*}
\left.\begin{array}{l}
\tau_{xy} = \tau_{yx} \\
\tau_{yz} = \tau_{zy} \\
\tau_{zx} = \tau_{xz}
\end{array}\right\}
\end{eqnarray*}
よって，$dxdydz\longrightarrow 0$を考えると物体の任意の位置$\left(x,y,z\right)$において次のような応力の組（応力テンソル）を定義することができる．
\begin{eqnarray*}
\left[\begin{array}{ccc}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{zx} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}
即ち，微小要素で考えられる力として，面に作用する力：単位面積当たりの力である応力を定義する．ここでは説明を省略するが，応力テンソルの各成分の作用に対応して発生する変形を単位長さ辺りの変位である歪成分で定義し，同様の対応する歪テンソルを次のように定義することができる．
\begin{eqnarray*}
\left[\begin{array}{ccc}
\varepsilon_{xx} & \gamma_{xy} & \gamma_{zx} \\
\gamma_{xy} & \varepsilon_{yy} & \gamma_{yz} \\
\gamma_{zx} & \gamma_{yz} & \varepsilon_{zz}
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}
図12-2 直方体微小要素の各面に作用する力（応力）
微小要素直方体で想定される作用力についてさらに考える．各応力成分は，位置$\left(x,y,z\right)$と時間$t$に対して変化するので，これらを独立変数とする関数と考えることができる．微小要素直方体の$x$軸方向に作用する力成分として，$x$軸な垂直な面において，$\sigma_{xx}(x+dx,y,z,t)$と$\sigma_{xx}(x,y,z,t)$，$y$軸に垂直な面において$\tau_{xy}(x,y+dy,z,t)$，$\tau_{xy}(x,y,z,t)$，$z$軸に垂直な面において$\tau_{zx}(x,y,z+dz,t)$と$\tau_{zx}(x,y,z,t)$各対面に存在する．ここで，Taylor展開を用いると
\begin{eqnarray*}
\left.\begin{array}{l}
\sigma_{xx}(x+dx,y,z,t) = \sigma_{xx}(x,y,z,t) + \frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}dx + \frac{1}{2!}\frac{\partial^2\sigma_{xx}}{\partial x^2}dx^2 + \ldots\\
\tau_{xy}(x,y+dy,z,t) = \tau_{xy}(x,y,z,t) + \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}dy + \frac{1}{2!}\frac{\partial^2\tau_{xy}}{\partial y^2}dy^2 + \ldots \\
\tau_{zx}(x,y,z+dz,t) = \tau_{zx}(x,y,z,t) + \frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}dz + \frac{1}{2!}\frac{\partial^2\tau_{zx}}{\partial z^2}dz^2 + \ldots
\end{array}\right\}
\end{eqnarray*}
となるので，$dx$，$dy$，$dz$の各1次項のみを考慮すると
\begin{eqnarray*}
\left.\begin{array}{l}
\sigma_{xx}(x+dx,y,z,t) \fallingdotseq \sigma_{xx}(x,y,z,t) + \frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}dx \\
\tau_{xy}(x,y+dy,z,t) \fallingdotseq \tau_{xy}(x,y,z,t) + \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}dy \\
\tau_{zx}(x,y,z+dz,t) \fallingdotseq \tau_{zx}(x,y,z,t) + \frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}dz
\end{array}\right\}
\end{eqnarray*}
よって，$x$軸方向変位を$u$とし，密度を$\rho$とすると，微小要素直方体の$x$軸方向の運動方程式を次のように表現することができる．
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}\left(\rho dxdydz\frac{\partial u}{\partial t}\right) &=& \left\{\sigma_{xx}(x+dx,y,z,t) - \sigma_{xx}(x,y,z,t)\right\}dydz
+\left\{\tau_{xy}(x,y+dy,z,t) - \tau_{xy}(x,y,z,t)\right\}dzdx + \left\{\tau_{zx}(x,y,z+dz,t) - \tau_{zx}(x,y,z,t)\right\}dxdy \\
&=& \frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}dxdydz + \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}dydzdx + \frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}dzdxdy
\end{eqnarray*}
即ち，左辺の全微分は偏微分と同じなので，$x$軸方向の運動方程式は次式となる．
\begin{eqnarray*}
\rho\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}
\end{eqnarray*}
$y$軸，$z$軸方向についても同様に考えることができる．
12.2 棒の縦振動に対する運動方程式
棒状物体において，軸方向のみの変形が生じる場合を考える．材料特性として，密度を$\rho$，縦弾性係数を$E$とし，形状特性としては，断面積が$A$で，長さが$l$であるとする．図12-3に示すように，棒軸方向に$x$座標を取り，その位置の軸方向変位を$u=u(x,t)$とする．$x$位置から微小長さ$dx$の部分を取り出すと，図に示すように軸方向の引張り応力$\sigma_{xx}$が，この部分に作用していると考えることができる．$x+dx$の位置の右側に作用する応力についてTaylor展開すると
\begin{eqnarray*}
\sigma_{xx}(x+dx,t) = \sigma_{xx}(x,t) + \frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}dx + \frac{1}{2!}\frac{\partial^2\sigma_{xx}}{\partial x^2}dx^2 + \ldots
\end{eqnarray*}
となるので，$dx$の１次項のみを考慮することにより，微小長さ$dx$の部分の運動方程式は，Newtonの第２法則を用いて次のように表すことができる．
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}\left(\rho Adx\frac{\partial u}{\partial t}\right) = \left\{\sigma_{xx}(x+dx,t)-\sigma_{xx}(x,t)\right\}A = \left(\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}dx \right)A
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\therefore \rho\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}
\end{eqnarray*}
このとき，$\sigma_{yy}=\sigma_{zz}=0$であり，対応する$x$軸方向の伸び歪$\varepsilon_{xx}$は，等方性材料を仮定し，ポアソン比を$\nu$とすると，
\begin{eqnarray*}
\varepsilon_{xx} = \frac{\sigma_{xx}}{E} - \frac{\nu}{E}\sigma_{yy} - \frac{\nu}{E}\sigma_{zz} = \frac{\sigma_{xx}}{E}
\end{eqnarray*}
となるので，いわゆる，単軸の応力歪関係
\begin{eqnarray*}
\sigma_{xx}=E\varepsilon_{xx}
\end{eqnarray*}
が成立する．ここで，軸方向の伸び歪は，次のように定義される．
\begin{eqnarray*}
\varepsilon_{xx} = \lim_{dx\rightarrow 0}\frac{u(x+dx,t)-u(x,t)}{dx} = \frac{\partial u(x,t)}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}
\end{eqnarray*}
従って，運動方程式は次のように変形できる．
\begin{eqnarray*}
\rho\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(E\varepsilon_{xx}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(E\frac{\partial u}{\partial x}\right) = E\frac{\partial^2u}{\partial x^2}
\end{eqnarray*}
即ち，棒状物体の軸方向に関する運動方程式は次式となる．
\begin{eqnarray*}
&& \frac{\partial^2u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} \\
&& c=\sqrt{\frac{E}{\rho}}
\end{eqnarray*}
この場合も一次元の波動方程式となる．よって，規準振動を仮定することにより，境界条件に対して，固有角振動数と固有モードを弦の場合と同様に定めることができる．また，自由振動応答に関しても同様に定めることができる（はずである）．
図12-3 棒状物体の軸方向振動
12.3 Hamiltonの原理を用いた基礎方程式の導出
微小長さ$dx$における運動エネルギー$dT$は，
\begin{eqnarray*}
dT =\frac{1}{2}\rho Adx\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2
\end{eqnarray*}
棒全体では次式のようになる．
\begin{eqnarray*}
T =\int_0^l\frac{1}{2}\rho A\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2dx
\end{eqnarray*}
同様に，歪エネルギーに関して，微小長さ$dx$について考えると
\begin{eqnarray*}
dU = \frac{1}{2}\sigma_{xx}A\varepsilon_{xx}dx = \frac{1}{2}EA\varepsilon_{xx}^2dx =\frac{1}{2}EA\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2dx
\end{eqnarray*}
よって，棒全体の歪エネルギーは次式なる．
\begin{eqnarray*}
U = \int_0^l\frac{1}{2}EA\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2dx
\end{eqnarray*}
更に，作用力$Q(x,t)$による仮想仕事$\delta W$を考えると次式となる．
\begin{eqnarray*}
\delta W =\int_0^lQ(x,t)\delta udx
\end{eqnarray*}
この場合のHamiltonの原理は次式となる．
\begin{eqnarray*}
\int_t\delta\left(T-U\right)dt + \int_t\delta Wdt = 0
\end{eqnarray*}
第１項は，
\begin{eqnarray*}
\int_t\int_x\delta\left\{\frac{1}{2}\rho A\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2 - \frac{1}{2}EA\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2\right\}dxdt
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
&& = \int_t\int_x\left[\rho A\frac{\partial u}{\partial t}\delta\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right) - EA\frac{\partial u}{\partial x}\delta\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)\right]dxdt = \int_t\int_x\left[\rho A\frac{\partial u}{\partial t}\frac{\partial}{\partial t}\left(\delta u\right) - EA\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x}\left(\delta u\right)\right]dxdt \\
&& = \int_x\left\{ \left[\rho A\frac{\partial u}{\partial t}\delta u\right]_t -\int_t\left\{\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho A\frac{\partial u}{\partial t}\right)\delta u + EA\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x}\left(\delta u\right)\right\}dt\right\}dx
\end{eqnarray*}
運動の始めと終わりで変位が確定すると$\delta u=0$とできるので，$t$に関する積分は零をおけるので次の様になる．
\begin{eqnarray*}
&& = -\int_t\int_x\left[\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho A\frac{\partial u}{\partial t}\right)\delta u + EA\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x}\left(\delta u\right)\right]dxdt \\
&& = -\int_t\left\{\left[EA\frac{\partial u}{\partial x}\delta u\right]_x + \int_x\left\{\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho A\frac{\partial u}{\partial t}\right) - \frac{\partial}{\partial x}\left(EA\frac{\partial u}{\partial x}\right)\right\}\delta udx\right\}dt
\end{eqnarray*}
第２項を加えると次式となる．
\begin{eqnarray*}
\int_t\left\{-\left[EA\frac{\partial u}{\partial x}\delta u\right]_x + \int_x\left\{Q(x,t) - \rho A\frac{\partial^2u}{\partial t^2} + EA\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\right\}\delta udx\right\}dt = 0
\end{eqnarray*}
よって，$\delta u$は任意なので，任意の$t$，$x$に対して，次の関係が成立することになる．
\begin{eqnarray*}
Q(x,t) - \rho A\frac{\partial^2u}{\partial t^2} + EA\frac{\partial^2u}{\partial x^2} = 0
\end{eqnarray*}
また，任意の時刻に対して次式が成立することが必要となる．
\begin{eqnarray*}
\left[EA\frac{\partial u}{\partial x}\delta u\right]_x = 0
\end{eqnarray*}
以上まとめると，Hamiltonの原理より，棒の縦振動に対する運動方程式は次式となる．
\begin{eqnarray*}
\rho\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = E\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{1}{A}Q(x,t)
\end{eqnarray*}
また，境界条件が次のように定まる．
\begin{eqnarray*}
\left[EA\frac{\partial u}{\partial x}\delta u\right]_x = 0
\end{eqnarray*}
ここで，$E\frac{\partial u}{\partial x}=\sigma_{xx}$より，次式のような表現も可能である．
\begin{eqnarray*}
\left[A\sigma_{xx}\delta u\right]_x = 0
\end{eqnarray*}
両端に作用する力を$F_x$とすると，$F_x=\sigma_{xx}A$より，境界の両端で力が与えられる場合は，
\begin{eqnarray*}
\left[F_x\delta u\right]_x = 0
\end{eqnarray*}
といった表現もできる．
12.4 丸棒のねじり振動
同様の一次元の波動方程式の運動方程式となる，丸棒のねじり振動に対する運動方程式の導出について考える．この場合，図12-4に示すように軸方向に$x$座標を取り，$x$軸回りの任意点のねじり角を$\phi$として，微小長さ$dx$の両端にねじりモーメント考える．ねじり角は$x$軸に関して右ねじが進む方向（時計回り）を正とし，モーメント$M_x$の符号も同様に考える．$x$軸に垂直な断面上に$\left(r,\theta\right)$座標系を考え，棒の密度を$\rho$とすると，微小長さ$dx$に関する軸回りの回転運動に対する運動方程式は次のようになる．
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial}{\partial t}\left(\int_r\int_\theta\rho r^2 drrd\theta dx \frac{\partial \phi}{\partial t}\right) = M_x(x+dx,t) - M_x(x,t)\fallingdotseq M(x,t) + \frac{\partial M_x}{\partial x}dx - M_x(x,t) = \frac{\partial M_x}{\partial x}dx
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\therefore \rho I_p\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} = \frac{\partial M_x}{\partial x}\text{, }\quad I_P = \int_r\int_\theta r^3 drd\theta
\end{eqnarray*}
一方，$x$軸回りのねじり角$\phi$に対して$\left(r,\theta\right)$断面に発生する応力$\tau_{x\theta}$は，横弾性係数を$G$とすると，対応する剪断歪$\gamma_{x\theta}$を用いて次式にように表現できる．
\begin{eqnarray*}
\tau_{x\theta}=G\gamma_{x\theta}
\end{eqnarray*}
断面内の回転軸$x$から$r$の距離にある位置の$\theta$方向変位は$r\phi$であることから，剪断歪$\gamma_{x\theta}$は次のように表現できる．
\begin{eqnarray*}
\gamma_{x\theta} = \lim_{dx\rightarrow 0}\frac{r\phi(x+dx,t)-r\phi(x,t)}{dx} = r\frac{\partial \phi}{\partial x}
\end{eqnarray*}
断面に働くねじりモーメント$M_x$は，ねじり応力に腕の長さである，回転軸からの距離$r$をかけて断面上の積分を行えばよいので，次式のように表すことができる．
\begin{eqnarray*}
M_x =\int_r\int_\theta r\times\tau_{x\theta}drrd\theta = \int_r\int_\theta r^2G\gamma_{x\theta}drd\theta = G\int_r\int_\theta r^3drd\theta \frac{\partial \phi}{\partial x}
\end{eqnarray*}
即ち，ねじりモーメント$M_x$は次式となる．
\begin{eqnarray*}
M_x = GI_P\frac{\partial \phi}{\partial x}
\end{eqnarray*}
よって，ねじり振動に対応する運動方程式は次のようになる．
\begin{eqnarray*}
\rho I_p\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} = GI_P\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\therefore \frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}\text{, }\quad c=\sqrt{\frac{G}{\rho}}
\end{eqnarray*}
図12-4 丸棒のねじり振動
12.5 演習
長さ$l$，密度$\rho$，縦弾性係数$E$の均一断面棒が速度$v$で壁面に衝突する．衝撃後，衝突面が壁面に固着するとした場合の棒の応答を求めよ．
図12-5 棒と壁の衝突後のの自由振動