13．連続体の振動問題V（梁の曲げ振動）
13.1 梁理論における仮定
機械システムの構造体に含まれる主要な要素を梁としてとして取り扱うケースは数多く存在し，強度の保障や動特性把握など設計段階での有用性も大きい．梁とは一般に幅，あるいは，奥行き方向の変形は考えず，長手方向に垂直な方向の曲げ変形を考えるモデルであり，曲げによって生じる断面内の伸び歪によるモーメントを考えることによりその現象を捉えることになる．
図13-1に示すように梁の長さ方向に$x$座標を取り，梁の厚さ方向の中央面に垂直な方向に$z$座標を取り，$z=0$における横方向（曲げ）変位を$w=w(x,t)$とし，断面内の軸方向変位$U(x,z,t)$，及び，横方向変位$W(x,z,t)$を考える．まず，
1) 断面内の横方向変位は一定，あるいは，どこも同じ，即ち，$W(x,z,t) = w(x,t)$と仮定する．
2) 梁の中央面の軸方向の伸びは零，即ち，$U(x.0,t)=0.0$
3) 断面は中央面に垂直なまま変形すると仮定する．
以上から，断面回転角を$\theta$として，断面上の中央面から$z$離れた位置の軸方向変位を微小変形を仮定して
\begin{eqnarray*}
U\left(x,z,t\right) = -z\sin\theta \fallingdotseq -z\theta
\end{eqnarray*}
で表わす．更に，
\begin{eqnarray*}
&& \tan\theta = \frac{\partial w(x,t)}{\partial x}\\
&& \therefore \theta \fallingdotseq \frac{\partial w(x,t)}{\partial x}
\end{eqnarray*}
より，軸方向変位は次のようになる．
\begin{eqnarray*}
U\left(x,z,t\right) = -z\frac{\partial w(x,t)}{\partial x}= -z\frac{\partial w}{\partial x}
\end{eqnarray*}
即ち，梁上の任意点$(x,z)$の位置における軸方向変位と横方向変位は，梁の中央面の横方向変位$w=w(x,t)$を用いて，次式にように表わされることになる．
\begin{eqnarray*}
\left.\begin{array}{l}
U\left(x,z,t\right) = U = -z\frac{\partial w}{\partial x} \\
W\left(x,z,t\right) = W = w
\end{array}\right\}
\end{eqnarray*}
図13-1 梁モデルにおける撓み変位$w$と断面の様子
13.2 梁の曲げ振動に対する運動方程式
単軸の引張応力$\sigma_{xx}$と対応する伸び歪$\varepsilon_{xx}$において，材料の縦弾性係数を$E$とすると次式のようになる．
\begin{eqnarray*}
\sigma_{xx} = E\varepsilon_{xx} = E\frac{\partial U}{\partial x} = -Ez\frac{\partial^2w}{\partial x^2}
\end{eqnarray*}
曲げ変形によって断面内に発生する引張応力のイメージは，図13-2のようになるので，中央面の$x$座標点回りのモーメント$M_x$は$x$，$z$と右手系となる$y$座標を更に加えることにより，次のような式で表現できる．
\begin{eqnarray*}
M_x = \int_y\int_zz\sigma_{xx}dydz = -E\int_y\int_zz^2\frac{\partial^2w}{\partial x^2}dydz
\end{eqnarray*}
よって，
\begin{eqnarray*}
I = \int_y\int_zz^2dydz
\end{eqnarray*}
と置くと，$x$の地点における曲げモーメントは次式で表現できることになる．
\begin{eqnarray*}
M_x = -EI\frac{\partial^2w}{\partial x^2}
\end{eqnarray*}
$I$は断面二次モーメントと呼ばれ，$EI$は，曲げ剛性と呼ばれることがある．
図13-2 引張応力$\sigma_{xx}$の断面上での分布
運動方程式を導出するために，微小長さ$dx$の両端に作用するモーメント$M_x$と剪断力$Q_x$を図13-3に示す．$M_x=M_x(x,t)$，$Q_x=Q_x(x,t)$であるので，$x+dx$の位置となる右側のモーメント，及び剪断力は次のようになる．
\begin{eqnarray*}
&& M_x(x+dx,t) = M_x(x,t) + \frac{\partial M_x(x,t)}{\partial x}dx + \frac{1}{2!}\frac{\partial^2M_x(x,t)}{\partial x^2}dx^2 + \ldots \fallingdotseq M_x(x,t) + \frac{\partial M_x(x,t)}{\partial x}dx\\
&& Q_x(x+dx,t) = Q_x(x,t) + \frac{\partial Q_x(x,t)}{\partial x}dx + \frac{1}{2!|}\frac{\partial^2Q_x(x,t)}{\partial x^2}dx^2 + \ldots \fallingdotseq Q_x(x,t) + \frac{\partial Q_x(x,t)}{\partial x}dx\\
\end{eqnarray*}
梁の密度を$\rho$，断面積を$A$とすると，Newtonの第二法則より，次式を得る．
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho Adx\frac{\partial w}{\partial t}\right) = Q_x(x+dx,t) - Q_x(x,t) = \frac{\partial Q_x}{\partial x}dx
\end{eqnarray*}
よって次式となる．
\begin{eqnarray*}
\rho A\frac{\partial^2w}{\partial t^2} = \frac{\partial Q_x}{\partial x}
\end{eqnarray*}
回転慣性は小さいとして，$x+dX$側を支点とするモーメントの釣合いを考えると
\begin{eqnarray*}
M_x(x+dx,t) - \left\{M_x(x,t) + Q_x(x,t)dx\right\} = 0
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\therefore \frac{\partial M_x(x,t)}{\partial x}dx - Q_x(x,t)dx = 0
\end{eqnarray*}
即ち，
\begin{eqnarray*}
Q_x = \frac{\partial M_x}{\partial x}
\end{eqnarray*}
の関係が定まるので，運動方程式は次のようになる．
\begin{eqnarray*}
\rho A\frac{\partial^2w}{\partial t^2} = \frac{\partial^2M_x}{\partial x^2} = -\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(EI\frac{\partial^2w}{\partial x^2}\right)
\end{eqnarray*}
ここで，$EI$が$x$に対して一定ならば，次のような形の運動方程式を定めることができる．
\begin{eqnarray*}
\rho A\frac{\partial^2w}{\partial t^2} + EI\frac{\partial^4w}{\partial x^4} = 0
\end{eqnarray*}
これは，Euler-Berronoulii梁と呼ばれる梁モデルの運動方程式で，定式化でおいた仮定から，”剪断変形”と”回転慣性”を無視したモデルと言われる．
図13-3 微小要素$dx$部分に作用するモーメントと剪断力
13.3 Hamiltonの原理を用いた基礎方程式の導出
梁の長さを$l$とすると，梁全体の運動エネルギー$T$は次式で表すことができる．
\begin{eqnarray*}
T=\int_z\int_y\int_0^l\frac{1}{2}\rho\left(\frac{\partial w}{\partial t}\right)^2dxdydx = \frac{1}{2}\rho A\int_0^l\left(\frac{\partial w}{\partial t}\right)^2dx
\end{eqnarray*}
ここで，
\begin{eqnarray*}
A=\int_z\int_ydydx
\end{eqnarray*}
は断面積である．一方，歪エネルギー$U$は，
\begin{eqnarray*}
U=\int_z\int_y\int_0^l\frac{1}{2}\sigma_{xx}\varepsilon_{xx}dxdydx = \int_z\int_y\int_0^l\frac{1}{2}Ez^2\left(\frac{\partial^2w}{\partial x^2}\right)^2dxdydz = \frac{1}{2}EI\int_0^l\left(\frac{\partial^2w}{\partial x^2}\right)^2dx
\end{eqnarray*}
Hamiltonの原理は次式で表現される．
\begin{eqnarray*}
\int_t\delta\left(T-U\right)dt = 0
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\therefore \int_t\delta\left\{ \frac{1}{2}\rho A\int_0^l\left(\frac{\partial w}{\partial t}\right)^2dx-\frac{1}{2}EI\int_0^l\left(\frac{\partial^2w}{\partial x^2}\right)^2dx\right\}dt = 0
\end{eqnarray*}
よって，
\begin{eqnarray*}
\int_t\int_0^l\left[ \rho A\frac{\partial w}{\partial t}\delta\left(\frac{\partial w}{\partial t}\right)-EI\frac{\partial^2w}{\partial x^2}\delta\left(\frac{\partial^2w}{\partial x^2}\right)\right]dxdt = 0
\end{eqnarray*}
$\delta$と偏微分を入れ替えると
\begin{eqnarray*}
\int_t\int_0^l\left[ \rho A\frac{\partial w}{\partial t}\frac{\partial}{\partial t}\left(\delta w\right)-EI\frac{\partial^2w}{\partial x^2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\delta w\right)\right]dxdt = 0
\end{eqnarray*}
$t$について部分積分すると，
\begin{eqnarray*}
\int_x\left[\rho A\frac{\partial w}{\partial t}\delta w\right]_tdx - \int_t\int_0^l\left[\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho A\frac{\partial w}{\partial t}\right)\delta w + EI\frac{\partial^2w}{\partial x^2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\delta w\right)\right]dxdt = 0
\end{eqnarray*}
運動の開始と終了で$w$が定まるとすると$\left[\delta w\right]_t=0$となるので，第一項は零となるので，残りの項に関して，$x$で部分積分すると次式を得る．
\begin{eqnarray*}
\int_t\left\{\left[EI\frac{\partial^2w}{\partial x^2}\frac{\partial}{\partial x}\left(\delta w\right)\right]_0^l + \int_0^l\left[\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho A\frac{\partial w}{\partial t}\right)\delta w - \frac{\partial}{\partial x}\left(EI\frac{\partial^2w}{\partial x^2}\right)\frac{\partial}{\partial x}\left(\delta w\right)\right]dx\right\} dt = 0
\end{eqnarray*}
更にもう一回，$x$で部分積分すると次式となる．
\begin{eqnarray*}
\int_t\left\{\left[EI\frac{\partial^2w}{\partial x^2}\delta\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)\right]_0^l - \left[\frac{\partial}{\partial x}\left(EI\frac{\partial^2w}{\partial x^2}\right)\delta w\right]_0^l + \int_0^l\left[\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho A\frac{\partial w}{\partial t}\right) + \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(EI\frac{\partial^2w}{\partial x^2}\right)\right]\delta wdx\right\} dt = 0
\end{eqnarray*}
よって，$\delta w$は任意であるので，Hamiltonの原理が成り立つためには，まず，任意の時刻$t$，任意の位置$x$に対して，$\delta w$で括られている
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho A\frac{\partial w}{\partial t}\right) + \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(EI\frac{\partial^2w}{\partial x^2}\right) = 0
\end{eqnarray*}
が成立し，かつ，任意の時刻$t$に対して，
\begin{eqnarray*}
\left[EI\frac{\partial^2w}{\partial x^2}\delta\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)\right]_0^l = 0 \text{, }\quad\left[\frac{\partial}{\partial x}\left(EI\frac{\partial^2w}{\partial x^2}\right)\delta w\right]_0^l = 0
\end{eqnarray*}
が成立する必要がある．前者は，梁の運動方程式である，後者は梁の運動を定めるのに必要となる境界条件である．
13.4 固有振動数と固有モード
梁の曲げ振動に関して，規準振動を考えると
\begin{eqnarray*}
w=w(x,t) = W_n(x) e^{i\omega_n t}
\end{eqnarray*}
と置くことができるので，梁の各パラメータ$EI$，$\rho A$などのが軸方向に一定の時には，次式のようになる．
\begin{eqnarray*}
-\rho A\omega_n^2W_n(x) + EI\frac{d^4W_n(x)}{dx^4} = 0
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\therefore \frac{d^4W_n(x)}{dx^4} - \frac{\rho A\omega_n^2}{EI}W_n(x) = 0
\end{eqnarray*}
よって，$W_n(x)= Y_n e^{\lambda x}$とおくと，特性方程式は
\begin{eqnarray*}
\lambda^4 = \frac{\rho A\omega_n^2}{EI}
\end{eqnarray*}
となるので，次のような４つの特性根が定まる．
\begin{eqnarray*}
\lambda = \pm\sqrt[4]{\frac{\rho A\omega_n^2}{EI}}\text{, }\quad\pm i\sqrt[4]{\frac{\rho A\omega_n^2}{EI}}
\end{eqnarray*}
よって，$\beta_n=\sqrt[4]{\frac{\rho A\omega_n^2}{EI}}$と置くと，$W_n(x)$の一般解は次式のように書くことができる．
\begin{eqnarray*}
W_n(x) = c_1e^{\beta_n x}+c_2e^{-\beta_n x}+c_3e^{i\beta_n x}+c_4e^{-i\beta_n x}
\end{eqnarray*}
ここで，次のような変形をする．
\begin{eqnarray*}
W_n(x) &=& \left(c_1+c_2\right)\frac{e^{\beta_n x}+e^{-\beta_n x}}{2} + \left(c_1-c_2\right)\frac{e^{\beta_n x}-e^{-\beta_n x}}{2} + \left(c_3+c_4\right)\frac{e^{i\beta_n x}+e^{-i\beta_n x}}{2} + \left(c_3-c_4\right)\frac{e^{i\beta_n x}-e^{-i\beta_n x}}{2} \\
&=& a_1\cosh\beta_nx + b_1\sinh\beta_nx + a_2\cos\beta_nx + b_2\sin\beta_nx
\end{eqnarray*}
これが，梁モデルにおける基準モード関数であり，境界条件を与えることにより，この固有モード関数の分布形状と固有振動数を定めることができる．
例：両端単純支持
ここで，梁の両端，即ち，$x=0$，$x=l$において，共に，$w=0$，$M_x=0$となる境界条件を考えてみる．境界条件を考える場合は，$W_n(x)$に対して条件を設定すればよいので，この場合，次の４つ関係が定まる．
\begin{eqnarray*}
\left.\begin{array}{l}
W(0) = 0 \\
\frac{d^2W(0)}{dx^2} = 0 \\
W(l) = 0 \\
\frac{d^2W(l)}{dx^2} = 0
\end{array}\right\}
\end{eqnarray*}
よって，基準モード関数より次式となる．
\begin{eqnarray*}
\left.\begin{array}{l}
W(0) = a_1 + a_2 = 0 \\
\frac{d^2W(0)}{dx^2} = \beta^2\left(a_1 - a_2\right) = 0 \\
W(l) = a_1\cosh\beta_nl + b_1\sinh\beta_nl + a_2\cos\beta_nl + b_2\sin\beta_nl =0 \\
\frac{d^2W(l)}{dx^2} = \beta_n^2\left(a_1\cosh\beta_nl + b_1\sinh\beta_nl - a_2\cos\beta_nl - b_2\sin\beta_nl\right) = 0
\end{array}\right\}
\end{eqnarray*}
よって，次の２式となる．
\begin{eqnarray*}
\left.\begin{array}{l}
b_1\sinh\beta_nl + b_2\sin\beta_nl =0 \\
b_1\sinh\beta_nl - b_2\sin\beta_nl = 0
\end{array}\right\}
\end{eqnarray*}
よって，$b_1$，$b_2$が共に零とはならない条件を考えると
\begin{eqnarray*}
\sinh\beta_nl\sin\beta_nl =0
\end{eqnarray*}
となり，$\sinh\beta_nl =0$は，$\beta_nl=0$のときのみなので，この場合の振動数方程式は次式となる．
\begin{eqnarray*}
\sin\beta_nl =0
\end{eqnarray*}
また，$b_1=0$とおいて良いので，未定係数は$b_2$のみとなる．よって，
\begin{eqnarray*}
\beta_nl =n \pi \quad \left(n=1,2,\ldots,\right)
\end{eqnarray*}
となるので，
\begin{eqnarray*}
\beta_n=\sqrt[4]{\frac{\rho A\omega_n^2}{EI}} = \frac{n\pi}{l}
\end{eqnarray*}
より，固有角振動数$\omega_n$は次のようになる．
\begin{eqnarray*}
&& \frac{\rho A\omega_n^2}{EI} = \left(\frac{n\pi}{l}\right)^4 \\
&& \omega_n^2 = \left(\frac{n\pi}{l}\right)^4\frac{EI}{\rho A} \\
&& \therefore \omega_n = \left(\frac{n\pi}{l}\right)^2\sqrt{\frac{EI}{\rho A}}
\end{eqnarray*}
このとき，基準モード関数は
\begin{eqnarray*}
W_n(x) = \sin\beta_nx = \sin\frac{n\pi x}{l}
\end{eqnarray*}
となる．
13.5 演習
(1) 両端単純支持梁に関して，中央に梁の質量がすべて集中しているとして定まる「等価質量」と梁中央に集中荷重が作用していると仮定して定まる「等価ばね定数」からなる1自由度振動系の固有角振動数と，梁理論により定まる結果を比較し，誤差を計算せよ．